¿Cuáles son los puntos extremos y de silla de montar de f (x, y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)?

Responder:

#(0,0)# es un punto de silla

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # y # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # son máximos locales

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # y # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # son mínimos locales

# (0, pm 1 / sqrt 2) # y # (pm 1 / sqrt 2,0) # Son puntos de inflexión.

Explicación:

Para una función general. #F (x, y) # con un punto estacionario en # (x_0, y_0) # Tenemos la expansión de la serie Taylor.

#F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots #

Para la funcion

#f (x) = x y e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

tenemos

# (delf) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Es fácil ver que los dos primeros derivados se desvanecen en los siguientes puntos

• #(0,0)#
• # (0, pm 1 / sqrt2) #
• # (pm 1 / sqrt2, 0) #
• # (pm 1 / sqrt2, pm 1 / sqrt2) #

Para examinar la naturaleza de estos puntos estacionarios, debemos observar el comportamiento de las segundas derivadas allí.

Ahora

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

y de manera similar

# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

y

# (del ^ 2 f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Entonces para #(0,0)# tenemos # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 0 # y # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # - por lo tanto

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

Si te acercas #(0,0)# a lo largo de la línea # x = y #, esto se convierte en

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

y entonces #(0,0)# Obviamente es un mínimo si te acercas desde esta dirección. Por otro lado, si te acercas por la línea # x = -y # tenemos

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

y entonces #(0,0)# es un máximo en esta dirección, Así #(0,0)# es un punto de silla.

por # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # es fácil ver que

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # y # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

Lo que significa que

#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)} #

Por lo tanto, la función disminuye de cualquier manera que se aleje de # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # y esto es un máximo local. Se ve fácilmente que lo mismo vale para # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (Esto debería haber sido obvio, ya que la función permanece igual bajo # (x, y) a (-x, -y) #!

De nuevo, para ambos # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # y # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # tenemos

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # y # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

Por lo tanto, ambos puntos son mínimos locales.

Los cuatro puntos # (0, pm 1 / sqrt2) # y # (pm 1 / sqrt2, 0) # Son más problemáticos, ya que todos los derivados de segundo orden desaparecen en estos puntos. Tenemos que ver ahora los derivados de orden superior. Afortunadamente, no es necesario que trabajemos muy duro para esto: los próximos rendimientos derivados

# (del ^ 3 f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

que no es cero para ambos # (0, pm 1 / sqrt2) # y # (pm 1 / sqrt2, 0) #. Ahora, esto significa que, por ejemplo,

#f (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3 f) / (del x ^ 3)) _ {(0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

lo que demuestra que esto aumentará desde # f (0,1 / sqrt 2) # en una dirección, y disminuir de ella en la otra. Así # (0,1 / sqrt2) # Es un ** punto de inflexión. El mismo argumento funciona para los otros tres puntos.