¿Qué es una expansión de Taylor de e ^ (- 2x) centrada en x = 0?

Responder:

#e ^ (- 2x) = suma_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

Explicación:

El caso de una serie de taylor se expandió alrededor. #0# Se llama una serie de maclaurin. La fórmula general para una serie de Maclaurin es:

#f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) x ^ n #

Para elaborar una serie para nuestra función podemos comenzar con una función para # e ^ x # y luego usar eso para averiguar una fórmula para #e ^ (- 2x) #.

Con el fin de construir la serie Maclaurin, necesitamos averiguar el enésimo derivado de # e ^ x #. Si tomamos algunos derivados, podemos ver un patrón bastante rápido:

#f (x) = e ^ x #

#f '(x) = e ^ x #

#f '' (x) = e ^ x #

De hecho, la enésima derivada de # e ^ x # es solo # e ^ x #. Podemos enchufar esto en la fórmula de Maclaurin:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ ooe ^ 0 / (n!) x ^ n = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x / (1!) + x ^ 2 / (2!) + X ^ 3 / (3!) … #

Ahora que tenemos una serie taylor para # e ^ x #, podemos simplemente reemplazar todos los #X#esta con # -2x # para obtener una serie para #e ^ (- 2x) #:

#e ^ (- 2x) = suma_ (n = 0) ^ oo (-2x) ^ n / (n!) = suma_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = #

# = 1-2 / (1!) X + 4 / (2!) X ^ 2-8 / (3!) X ^ 3 + 16 / (4!) X ^ 4 … = #

# = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

cual es la serie que buscabamos