Evalúa la integral indefinida: sqrt (10x x ^ 2) dx?

Responder:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + c #

Explicación:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

Completar el cuadrado, #int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

Sustituir # u = x-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" du #

Sustituir # u = 5sin (v) # y # du = 5cos (v) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "dv #

Simplificar, #int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

Refinar, #int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

Saca la constante, # 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

Aplicar fórmulas de doble ángulo, # 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

Saca la constante, # 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" dv #

Integrar, # 25/2 (v + 1 / 2sin (2v)) "+ c #

Sustituir la espalda # v = arcsin (u / 5) # y # u = x-5 #

# 25/2 (arcsin ((x-5) / 5) + cancel (1 / 2sin) (cancel (2arcsin) ((x-5) / 5))) "+ c #

Simplificar, # 25/2 (arcsin ((x-5) / 5)) + 25/2 ((x-5) / 5) + c #

Refinar, # 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) +5/2 (x-5) + c #, dónde #do# Es la constante de integración.

Tadaa: D

Responder:

# = 1/2 ((((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #

Explicación:

Que es #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

Tenga en cuenta que el dominio de la función que se está integrando es donde la cuadrática interna es positiva, es decir, #x en 0, 10 #

Esta expresión se puede integrar utilizando sustituciones. Aunque una posible vía de integración no se presenta inmediatamente, si competimos en el cuadro, se puede realizar una sustitución trigonométrica:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

Lo que, notamos, está en la forma clásica de sustitución trigonométrica, es decir, el cuadrado de un número menos el cuadrado de una línea lineal. #X# función.

Primero, para deshacernos de lo lineal, dejamos #u = x-5 #, lo que da # du = dx #, por lo que podemos reescribir la integral anterior como:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

Ahora para la segunda sustitución, vamos #u = 5sintheta #, que cambia la integral a:

#int sqrt (25 - 25sin ^ 2theta) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (Podemos ignorar los corchetes de valor absoluto)

Por supuesto, el # dx # No está ayudando, por lo que diferenciamos la ecuación de sustitución para obtener: #du = 5costheta d theta #, entonces la integral se convierte en:

# 25 int cos ^ 2 theta d theta #

Ahora podemos usar una fórmula de doble ángulo para hacer la integración. # cos ^ 2 theta # más fácil:

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

Entonces la integral se convierte en:

# 25/2 int cos (2 theta) + 1 d theta #

# = 25/2 (1 / 2sin (2 theta) + theta) + c #

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (utilizando una fórmula de doble ángulo)

Ahora, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

Por lo tanto, #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

Y, # theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 ((((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + arcsin ((x-5) / 5)) + c #

# = 1/2 ((((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #