Pregunta # f8e6c

Responder:

Expresarlo como una serie geométrica para encontrar la suma es. #12500/3#.

Explicación:

Vamos a expresar esto como una suma:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (1.12) ^ - k #

Ya que #1.12=112/100=28/25#, esto es equivalente a:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (28/25) ^ - k #

Usando el hecho de que # (a / b) ^ - c = (1 / (a / b)) ^ c = (b / a) ^ c #, tenemos:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (25/28) ^ k #

Además, podemos tirar del #500# fuera del signo de suma, como este:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

Bien, ahora que es esto? Bien, #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k # es lo que se conoce como un series geométricas. Las series geométricas involucran un exponente, que es exactamente lo que tenemos aquí. Lo sorprendente de series geométricas como esta es que se resumen en # r / (1-r) #, dónde # r # es la razón común; es decir, el número que se eleva al exponente. En este caso, # r # es #25/28#, porque #25/28# Es lo que se eleva al exponente. (Nota al margen: # r # tiene que estar entre #-1# y #1#, o de lo contrario la serie no se suma a nada.)

Por lo tanto, la suma de esta serie es:

#(25/28)/(1-25/28)#

#=(25/28)/(3/28)#

#=25/28*28/3=25/3#

Acabamos de descubrir que #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k = 25/3 #, así que lo único que queda es multiplicarlo por #500#:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

#=500*25/3#

#=12500/3~~4166.667#

Puede encontrar más información sobre las series geométricas aquí (le animo a que vea la serie completa que Khan Academy tiene sobre las series geométricas).