¿Cómo encuentras el polinomio de Taylor de tercer grado para f (x) = ln x, centrado en a = 2?

Responder:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.

Explicación:

La forma general de una expansión de Taylor centrada en #una# de una función analítica #F# es #f (x) = sum_ {n = 0} ^ oof ^ ((n)) (a) / (n!) (x-a) ^ n #. aquí #f ^ ((n)) # es el nth derivado de #F#.

El polinomio de Taylor de tercer grado es un polinomio que consiste en los primeros cuatro (#norte# que van desde #0# a #3#) términos de la expansión completa de Taylor.

Por lo tanto este polinomio es #f (a) + f '(a) (x-a) + (f' '(a)) / 2 (x-a) ^ 2 + (f' '' (a)) / 6 (x-a) ^ 3 #.

#f (x) = ln (x) #, por lo tanto #f '(x) = 1 / x #, #f '' (x) = - 1 / x ^ 2 #, #f '' '(x) = 2 / x ^ 3 #. Así que el polinomio de Taylor de tercer grado es:

#ln (a) + 1 / a (x-a) -1 / (2a ^ 2) (x-a) ^ 2 + 1 / (3a ^ 3) (x-a) ^ 3 #.

Ahora tenemos # a = 2 #, así que tenemos el polinomio:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.