Demuestre que las curvas x = y ^ 2 y xy = k se cortan en ángulos rectos si 8k ^ 2 = 1?

Responder:

#-1#

Explicación:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

las dos curvas son

#x = y ^ 2 #

y

#x = sqrt (1/8) / yo x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

para la curva #x = y ^ 2 #, el derivado con respecto a # y # es # 2y #.

para la curva #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #, el derivado con respecto a # y # es # -sqrt (1/8) y ^ -2 #.

El punto en el que se encuentran las dos curvas es cuando # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

ya que #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

El punto en el que se encuentran las curvas es # (1/2, sqrt (1/2)) #

cuando #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

el gradiente de la tangente a la curva #x = y ^ 2 # es # 2sqrt (1/2), o 2 / (sqrt2) #.

cuando #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

el gradiente de la tangente a la curva #xy = sqrt (1/8) # es # -2sqrt (1/8), o -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

Buscamos una condición de # k # tal que las curvas # x = y ^ 2 # y # xy = k # "Cortar en ángulo recto". Matemáticamente, esto significa que las curvas deben ser ortogonales, lo que a su vez significa que en todos los puntos las tangentes a las curvas en alguna Los puntos dados son perpendiculares.

Si examinamos la familia de curvas para varios valores de # k # obtenemos:

Notamos inmediatamente que estamos buscando un solo punto donde la tangente es perpendicular, por lo que en general las curvas no son ortogonales en todos los puntos.

Primero encontremos el soltero coordinar, #PAG#, del punto de intersección, que es la solución simultánea de:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

Sustituyendo Eq A en B obtenemos:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = raíz (3) (k) #

Y así establecemos la coordenada de intersección:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

También necesitamos los gradientes de las tangentes en esta coordenada. Para la primera curva:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

Así que el gradiente de la tangente, # m_1 #, a la primera curva en #PAG# es:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

Del mismo modo, para la segunda curva:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Así que el gradiente de la tangente, # m_2 #, a la segunda curva en #PAG# es:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = -k ^ (- 1/3) #

Si estas dos tangentes son perpendiculares entonces requerimos que:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Llevando al resultado dado:

# 8k ^ 2 = 1 # QED

Y con este valor de # k #