Deriva matemáticamente las raíces de color (blanco) ("d") y = x ^ 3-3x-1 = 0?

Responder:

#x = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # para #n = 0, 1, 2 #

Explicación:

Dado:

# x ^ 3-3x-1 = 0 #

Sustitución trigonométrica

Dado que este cúbico tiene #3# Ceros reales, el método de Cardano dará como resultado expresiones que involucran raíces cúbicas irreductibles de números complejos. El método de Cardano no está mal, pero no es muy amigable, a menos que las raíces cúbicas tengan una forma simple.

Como alternativa en tales casos, elegiría utilizar una sustitución trigonométrica.

Dejar:

#x = k cos theta #

El truco es elegir. # k # tal que la expresión resultante contenga # 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = cos 3 theta #.

Tenemos:

# 0 = x ^ 3-3x-1 #

#color (blanco) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 3k cos theta - 1 #

#color (blanco) (0) = k (k ^ 2 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 #

#color (blanco) (0) = 2 (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 "" # con # k = 2 #

#color (blanco) (0) = 2cos 3theta - 1 #

Asi que:

#cos 3 theta = 1/2 #

Asi que:

# 3 theta = + -pi / 3 + 2npi "" # para cualquier entero #norte#

Asi que:

#theta = + -pi / 9 + (2npi) / 3 "" # para cualquier entero #norte#

Esto le dará #3# distintos valores posibles de #x = k cos theta #…

#x = 2 cos theta = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # para #n = 0, 1, 2 #.