Responder:
Centrar: #(2,-1)#
Vértices: # (2, 1/2) y (2, -5 / 2) #
Co-vértices: # (1, -1) y (3, -1) #
Foci: # (2, (-2 + sqrt (5)) / 2) y (2, (- 2-sqrt (5)) / 2) #
Excentricidad: #sqrt (5) / 3 #
Explicación:
La técnica que queremos usar se llama completar el cuadrado. Lo usaremos en el #X# términos primero y luego el # y #.
Reorganizar a
# 9x ^ 2 + 4y ^ 2 - 36x + 8y = -31 #
Centrándose en #X#, dividir por el # x ^ 2 # coeficiente y sumar el cuadrado de la mitad del coeficiente de la # x ^ 1 # plazo a ambos lados:
# x ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 - 4x + 8 / 9y + (- 2) ^ 2 = -31/9 + (-2) ^ 2 #
# (x-2) ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 + 8 / 9y = 5/9 #
Dividir por # y ^ 2 # coeficiente y agregar cuadrado de la mitad del coeficiente de la # y ^ 1 # plazo a ambos lados:
# 9/4 (x-2) ^ 2 + y ^ 2 + 2y + (1) ^ 2 = 5/4 + (1) ^ 2 #
# 9/4 (x-2) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 9/4 #
Dividido por #9/4# simplificar:
# (x-2) ^ 2 + 4/9 (y + 1) ^ 2 = 1 #
# (x-2) ^ 2/1 + ((y + 1) ^ 2) / (9/4) = 1 #
Ecuación general es
# (x-a) ^ 2 / h ^ 2 + (y-b) ^ 2 / k ^ 2 = 1 #
dónde # (a, b) # es el centro y # h, k # Son los ejes semi-menor / mayor.
La lectura del centro da #(2, -1)#.
En este caso, el # y # La dirección tiene un valor mayor que el #X#, para que la elipse se estire en la # y # dirección. # k ^ 2> h ^ 2 #
Los vértices se obtienen moviendo hacia arriba el eje mayor desde el centro. Es decir # + - sqrt (k) # Sumado a la coordenada y del centro.
Esto da # (2, 1/2) y (2, -5/2) #.
Los co-vértices se encuentran en el eje menor. Añadimos # + - sqrt (h) # a la coordenada x del centro para encontrarlos.
# (1, -1) y (3, -1) #
Ahora, para encontrar los focos:
# c ^ 2 = k ^ 2 - h ^ 2 #
# c ^ 2 = 9/4 - 1 #
# c ^ 2 = 5/4 implica c = + -sqrt (5) / 2 #
Foci se situará a lo largo de la línea. #x = 2 # a # + - sqrt (5) / 2 # desde #y = -1 #.
#por lo tanto# focos en # (2, (-2 + sqrt (5)) / 2) y (2, (- 2-sqrt (5)) / 2) #
Finalmente la excentricidad se encuentra utilizando.
# e = sqrt (1-h ^ 2 / k ^ 2) #
# e = sqrt (1-1 / (9/4)) = sqrt (1-4 / 9) = sqrt (5) / 3 #
