¿Cuáles son la asíntota (s) y el (los) orificio (s), si existen, de f (x) = ((x-3) (x + 2) * x) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3- 3x ^ 2)?

Responder:

# x = 0 # Es una asíntota.

# x = 1 # Es una asíntota.

#(3, 5/18)# es un agujero

Explicación:

Primero, simplifiquemos nuestra fracción sin cancelar nada (ya que vamos a estar tomando límites y la cancelación de cosas podría interferir con eso).

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3-3x ^ 2)) #

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x) (x-1) (x ^ 2) (x-3)) #

#f (x) = (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3) #

Ahora: los agujeros y las asíntotas son valores que hacen que una función no esté definida. Como tenemos una función racional, quedará indefinida si y solo si el denominador es igual a 0. Por lo tanto, solo necesitamos verificar los valores de #X# que hacen el denominador #0#, que son:

# x = 0 #

# x = 1 #

# x = 3 #

Para averiguar si estas son asíntotas o huecos, tomemos el límite de #f (x) # como #X# Se acerca a cada uno de estos números.

#lim_ (x-> 0) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = lim_ (x-> 0) ((x-3) (x + 2)) / (x ^ 2 (x-1) (x-3)) #

# = (-3 * 2) / (0 * (- 1) * (- 3)) = + -oo #

Asi que # x = 0 # Es una asíntota.

#lim_ (x-> 1) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = (1 * (- 2) * 3) / (1 * 0 * (- 2)) = + -oo #

Asi que # x = 1 # Es una asíntota.

#lim_ (x-> 3) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = lim_ (x-> 3) ((x + 2)) / (x ^ 2 (x-1)) #

#= 5/(9*2) = 5/18#

Asi que #(3, 5/18)# es un agujero en #f (x) #.

Respuesta final