¿Qué es una función de onda y cuáles son los requisitos para que se comporte bien, es decir, para que represente adecuadamente la realidad física?

Responder:

La función de onda es una función de valor complejo de la cual la amplitud (valor absoluto) da la distribución de probabilidad. Sin embargo, no se comporta de la misma manera que una onda ordinaria.

Explicación:

En mecánica cuántica, hablamos del estado de un sistema. Uno de los ejemplos más simples es una partícula que puede estar en un giro hacia arriba o hacia abajo, por ejemplo, un electrón. Cuando medimos el giro de un sistema, o bien lo medimos para estar arriba o abajo. Un estado por el cual estamos seguros del resultado de la medición, llamamos estado propio (estado arriba # uarr # y uno abajo del estado # darr #).

También hay estados en los que no estamos seguros del resultado de la medición antes de medirla. A estos estados los llamamos una superposición y podemos escribirlos como # a * uarr + b * darr #. Aquí tenemos # | a | ^ 2 # la probabilidad de medir # uarr #y # | b | ^ 2 # la probabilidad de medir # darr #. Esto significa, por supuesto, que # | a | ^ 2 + | b | ^ 2 = 1 #. Permitimos # a, b # Para ser números complejos, la razón de esto no está clara de inmediato en este ejemplo, pero en el contexto de la función de onda será más clara. La conclusión es que hay más estados que uno que ofrecen las mismas probabilidades de medir los giros.

Ahora podríamos intentar asignar una función a este estado de giro. Como solo hay dos resultados de la medición del giro, tenemos una función que tiene solo dos entradas posibles. Si llamamos a la función. #psi# (este es un símbolo muy convencional usado para una función de onda), establecemos #psi (uarr) = a # y #psi (darr) = b #.

Ahora pasamos a la función de onda. Un aspecto de una partícula es, por supuesto, su ubicación. Al igual que en el caso del giro, podemos medir distintos valores para la ubicación y podemos tener estados en los que el resultado de la medición no se ha fijado de antemano. Ya que tenemos una cantidad infinita de lugares donde una partícula puede estar, anotando este estado como # a * "aquí" + b * "allí" # no hare Sin embargo, la idea de la función que hemos utilizado anteriormente lo hace. Así que para cualquier ubicación #X#, tenemos un valor complejo #psi (x) #. La función de densidad de probabilidad de la partícula ahora está dada por # | psi (x) | ^ 2 #.

Para ser justos, históricamente, la idea de la función de onda es más antigua que la del giro, pero creo que entender la idea de giro en cierto grado ayuda a comprender la función de la onda.

Ahora, en primer lugar, ¿por qué se valora el complejo de la función de onda? La primera razón se puede encontrar en la idea de la interferencia. La función de onda de una partícula puede interferir consigo misma. Esta interferencia tiene que ver con sumar funciones de onda, si las funciones de onda dan el mismo valor absoluto en un cierto punto, entonces la probabilidad de medir una partícula alrededor de ese punto es similar. Sin embargo, los valores de la función pueden ser diferentes, si son iguales, sumarlos hará que la amplitud, o la densidad de probabilidad 4 (#|2|^2#) veces mayor (interferencia constructiva), y si difieren por un signo, se niegan entre sí (interferencia destructiva). Sin embargo, también puede diferir, por ejemplo, un factor #yo#, lo que significa que la densidad de probabilidad se convierte en #2# veces más grande en ese punto. Sabemos que todas estas interferencias pueden ocurrir. Así que esto apunta hacia una función de onda de valor complejo como se describió anteriormente.

La segunda razón se puede encontrar en la ecuación de Schrödinger. Inicialmente se pensó que estas funciones de onda se comportaban como las ondas clásicas. Sin embargo, cuando Schrödinger trató de describir el comportamiento de estas ondas, o al menos su evolución a través del tiempo, descubrió que la ecuación que regulaba las ondas clásicas no era adecuada. Para que funcione, tuvo que introducir un número complejo en la ecuación, lo que lleva a la conclusión de que la función en sí misma también tiene que ser compleja, y el orden de las derivadas que aparecen en la ecuación difiere de la ecuación de onda clásica.

Esta diferencia en las ecuaciones también responde a tu segunda pregunta. Dado que la evolución de la función de onda difiere mucho de la de las ondas clásicas, no podemos utilizar los mismos métodos que usamos en la física de ondas clásica. Por supuesto, hay argumentos geométricos que puedes usar, pero no será suficiente para describir todos los fenómenos de la física cuántica. Además, aunque la función de onda proporciona mucha información sobre el estado de una partícula, no le dice nada acerca de su giro, ya que el giro y la ubicación observables tienen poco que ver entre sí.

Tal vez estoy interpretando lo que usted entiende por una naturaleza geométrica erróneamente. ¿Podrías quizás dar un ejemplo de lo que quieres decir? Quizás entonces pueda ayudarte más.

los función de onda representa el estado de un sistema mecánico cuántico, como un átomo o una molécula.

Se puede representar como cualquiera #psi#, la tiempo independiente función de onda, o #Psi#, la dependiente del tiempo función de onda.

Porque el ola La función representa evidentemente un sistema que se comporta como un ola (no es casualidad que se llame ola función!), normalmente esperaríamos un irrestricto La función de onda no tiene límites. Considere el hecho de que # sinx # y # cosx #, dos funciones que son claramente ondas, tienen dominios de # (- oo, oo) #.

EJEMPLO: LA FUNCIÓN DE ONDA PARA ORBITALES

Sin embargo, tomemos orbitales por ejemplo. Debe haber un conjunto de condiciones de contorno para un orbital, porque obviamente los orbitales no son infinitamente grandes.

Una función de onda puede representar la Combinación lineal de orbitales atómicos. para formar orbitales moleculares:

#color (azul) (psi _ ("MO")) = sum_ (i) c_iphi_i ^ "AO" #

# = color (azul) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) +..) #

dónde # c_i # es el Coeficiente de expansión indicando la contribución de cada orbital atómico al orbital molecular particular en cuestión, y # phi_i ^ "AO" # es el Función de onda experimental / de prueba para cada orbital atómico.

Dado que una función de onda debe poder representar un orbital, debe tener un radio positivo (#r> 0 #) y la función de onda debe ser soltero -valorado, cerrado , continuo , ortogonal a todas las funciones de onda relacionadas, y normalizable .

En otras palabras, debe pasar la prueba de la línea vertical, tener un área finita debajo de la curva, no tener saltos / discontinuidades / asíntotas / roturas, y satisfacer las siguientes dos ecuaciones:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(La integral de una función de onda y su complejo conjugado es #0# si las funciones de onda son diferentes)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(la integral de una función de onda y su complejo conjugado se normaliza de modo que sea igual a #1# Si las funciones de onda son las mismas además del signo de # pmi #)

Un ejemplo de ecuación para la función de onda en coordenadas esféricas para el átomo de hidrógeno es:

#color (azul) (psi_ (2pz) (r, theta, phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = color (azul) (1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") ((Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a_0) costheta) #

Para pensar, en realidad pasé tiempo para normalizar esto. Incluso me tomé el tiempo para verificar la ortogonalidad con los otros dos # 2p # funciones de onda.:PAG

Por si acaso, aquí hay un apéndice de lo que he vinculado anteriormente en Scratchpads.

#' '#

Normalización de la

los # 2p_z # La función de onda orbital atómica es:

#psi_ (2pz) #

# = R_ (nl) (r) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(McQuarrie)

Es el # 2p_z # función de onda De Verdad normalizado? ¡VAMOS A AVERIGUAR!

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl) ^ "*" (r) R_ (nl) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1) #

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1 #

#color (verde) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr stackrel (= "2/3") (overbrace (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta)) stackrel (= 2pi) (overbrace (int_ (0) ^ (2pi) dphi)) stackrel (?) (=) 1) #

Ahora, examinando solo la parte radial, que es la parte loca … ¡que comience la integración cuádruple por partes!

EVALUACIÓN DEL COMPONENTE RADIAL DE LA FUNCIÓN DE ONDA

Parte 1

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

Dejar:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr} #

Parte 2

Dejar:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

Parte 3

Dejar:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

Parte 4

Dejar:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2 {- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int e ^ (- (Zr) / (a_0))Dr}}#

EXPANSIÓN / SIMPLIFICACIÓN

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) 12r ^ 2 - ((a_0) / Z) ^ 4e ^ (- (Zr) / (a_0)) 24r - 24 ((a_0) / Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

FORMULARIO DE EVALUACIÓN-LISTO

# = | -e ^ (- (Zr) / (a_0)) (a_0) / Z r ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 r ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 | _ (0) ^ (oo) #

La primera mitad se cancela ser #0#:

# = cancelar ({- e ^ (- (Zoo) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 oo ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 oo + 24 ((a_0) / Z) ^ 5}) ^ (0) - {-e ^ (- (Z (0)) / (a_0)) (a_0) / Z (0) ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

La segunda mitad simplifica el down. ser # 1 * (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

# = cancelar (e ^ (- (Z (0)) / (a_0))) ^ (1) cancelar ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + cancelar (4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + cancelar (12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) + cancelar (24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

Ahora, volvamos a examinar la función de onda en su conjunto …

#psi_ (2pz) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) stackrel (?) (=) 1 #

# = 1 / (cancelar (32) cancelar (pi)) cancelar ((Z / a_0) ^ 5) (cancelar (16) cancelar ((a_0 / Z) ^ 5)) (cancelar (2) cancelar (pi)) stackrel (?) (=) 1 #

#color (azul) (1 = 1) #

¡SÍ! ¡UNO ES IGUAL A UNO! Quiero decir…

¡La función de onda está de hecho normalizada!:RE

Demostrando ortogonalidad mutua para las funciones de onda 2p

Vamos a elegir las siguientes funciones de onda:

#psi_ (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetacosphi #

#psi_ (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetasinphi #

#psi_ (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) costheta #

Para mostrar que son ortogonales, necesitamos mostrar al menos uno de ellos:

#int _ ("todo el espacio") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

Y desde la inducción podemos implicar el resto ya que los componentes radiales son idénticos. En otras palabras:

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl, 2px) ^ "*" (r) R_ (nl, 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi stackrel (?) (=) 0) #

#color (verde) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sen ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

La porción radial resulta ser # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #. Entonces, evaluemos las porciones angulares.

los # theta # parte:

#color (verde) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

Dejar:

#u = sintheta #

#du = cos thetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = color (verde) (0) #

Y ahora el #fi# parte:

#color (verde) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = pecado (2pi) - pecado (0) #

Dejar:

#u = sintheta #

#du = cos thetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = color (verde) (0) #

Por lo tanto, tenemos en general:

#color (azul) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sen ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = cancelar (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0) (0)) ^ (0) #

# = color (azul) (0) #

Ya que

#int _ ("todo el espacio") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

la # 2p_z # y # 2p_x # Los orbitales atómicos son ortogonales.

Realmente, la principal diferencia con el uso del # 2p_y # La ecuación es que en su lugar obtienes:

#color (verde) ("Constantes" int_ (0) ^ (oo) "Lo mismo" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 3tadad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Y entonces:

#color (azul) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 sin ^ 2 (2pi) - sin ^ 2 (0) = color (azul) (0) #

De multiplicar #0# por las otras integrales, por lo tanto, la integral desaparece y:

#int _ ("todo el espacio") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

Por lo tanto, la # 2p_x # y # 2p_y # Los orbitales atómicos son ortogonales.

Finalmente, para el # 2p_y # contra el # 2p_z #:

#color (verde) ("Constantes" int_ (0) ^ (oo) "Lo mismo" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Sabemos el # theta # integral desde antes:

#color (azul) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = color (azul) (0) #

Y así, la integral entera desaparece de nuevo, y de hecho la # 2p_y # y # 2p_z # ¡Los orbitales también son ortogonales!