¿Hay algún punto (x, y) en la curva y = x ^ (x (1 + 1 / y)), x> 0, en el que la tangente es paralela al eje x?

Responder:

No hay tal punto, en lo que respecta a mi matemática.

Explicación:

Primero, consideremos las condiciones de la tangente si es paralela a la #X#-eje. Desde el #X#-El eje es horizontal, cualquier línea paralela a él también debe ser horizontal; por lo que se deduce que la línea tangente es horizontal. Y, por supuesto, las tangentes horizontales ocurren cuando la derivada es igual a #0#.

Por lo tanto, primero debemos comenzar por encontrar la derivada de esta monstruosa ecuación, que se puede lograr mediante la diferenciación implícita:

# y = x ^ (x + x / y) #

# -> lny = (x + x / y) lnx #

Al usar la regla de suma, la regla de cadena, la regla de producto, la regla de cociente y el álgebra, tenemos

# d / dx (lny) = d / dx ((x + x / y) lnx) #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (1+ (x'y-xdy / dx) / y ^ 2) (lnx) + (x + x / y) (1 / x) #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx ((y-xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx (1 / y- (xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + (lnx) / y- (xlnxdy / dx) / y ^ 2 + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y + (xlnxdy / dx) / y ^ 2 = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx (1 / y + (xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = (ylnx + lnx + 1 + y) / y #

# -> dy / dx = ((ylnx + lnx + 1 + y) / y) / ((y + xlnx) / y ^ 2) #

# -> dy / dx = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

Wow … eso fue intenso. Ahora establecemos el derivado igual a #0# y mira lo que pasa.

# 0 = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

# 0 = ylnx + lnx + 1 + y #

# -ylnx-y = lnx + 1 #

# -y (lnx + 1) = lnx + 1 #

#y (lnx + 1) = - (lnx + 1) #

#y = (- (lnx + 1)) / (lnx + 1) #

# y = -1 #

Interesante. Ahora vamos a enchufar # y = -1 # y ver que obtenemos por #X#:

# y = x ^ (x (1 + 1 / y)) #

# -1 = x ^ (x (1 + 1 / -1)) #

# -1 = x ^ (x (1-1)) #

# -1 = x ^ 0 #

#-1=1#

Dado que esto es una contradicción, llegamos a la conclusión de que no hay puntos que cumplan esta condición.

Responder:

No existe tal tangente.

Explicación:

#y = x ^ (x (1 + 1 / y)) equiv y ^ {y / (y + 1)} = x ^ x #. Ahora llamando #f (x, y) = x ^ x-y ^ {y / (y + 1)} = u (x) + v (y) = 0 # tenemos

#df = f_x dx + f_y dy = (parcial u) / (parcial x) dx + (parcial v) / (parcial y) dy = 0 # entonces

# dy / dx = - ((parcial u) / (parcial x)) / ((parcial v) / (parcial y)) = (x ^ x (1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (y ^ (y / (1 + y)) (1 + y + Log_e (y))) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (1 + y + Log_e (y)) #

Vemos eso # dy / (dx) = 0 -> {y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # pero esos valores deben verificar:

#f (x, y_0) = 0 # y

#f (x_0, y) = 0 #

En el primer caso, # y_0 = 1 # tenemos

# x ^ x = -1 # Lo cual no es alcanzable en el dominio real.

En el segundo caso, # x_0 = e ^ {- 1} # tenemos

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # o

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

pero

# y / (y + 1) log_e y> -1 # así que no hay solución real también.

En conclusión, no hay tal tangente.

Responder:

La respuesta del Dr, Cawa K, x = 1 / e, es precisa.

Explicación:

Yo había propuesto esta pregunta para obtener este valor con precisión. Gracias a

Dr, Cawas por una respuesta decisiva que aprueba la revelación de que

la doble precisión y 'permanece 0 alrededor de este intervalo. y es

Continua y diferenciable en x = 1 / e. Como tanto el doble 17d.

la precisión y y y 'son 0, en este intervalo alrededor de x = 1 / e, fue un

conjetura de que el eje x toca la gráfica en el medio. Y ahora, es

demostrado. Creo que el tacto es trascendental..