¿Cuál es el límite cuando x se acerca al infinito de (1 + a / x) ^ (bx)?

Mediante el uso de logaritmo y la regla de l'Hopital, #lim_ {x a infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab} #.

Mediante el uso de la sustitución # t = a / x # o equivalente # x = a / t #, # (1 + a / x) ^ {bx} = (1 + t) ^ {{ab} / t} #

Mediante el uso de propiedades logarítmicas,

# = e ^ {ln (1 + t) ^ {{ab} / t}} = e ^ {{ab} / t ln (1 + t)} = e ^ {ab {ln (1 + t) } / t} #

Por la Regla de l'Hopital, #lim_ {t to 0} {ln (1 + t)} / {t} = lim_ {t to 0} {1 / {1 + t}} / {1} = 1 #

Por lo tanto, #lim_ {x a infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab lim_ {t to 0} {ln (1 + t)} / {t}} = e ^ {ab} #

(Nota: #t a 0 # como #x a infty #)