Responder:
La curva de intersección puede ser parametrizada como # (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #.
Explicación:
No estoy seguro de lo que quieres decir con función vectorial. Pero entiendo que intenta representar la curva de intersección entre las dos superficies en la declaración de la pregunta.
Dado que el cilindro es simétrico alrededor de la # z # En el eje, puede ser más fácil expresar la curva en coordenadas cilíndricas.
Cambiar a coordenadas cilíndricas:
#x = r cos theta #
#y = r sin theta #
#z = z #.
# r # es la distancia de la # z # eje y # theta # es el ángulo contrario a las agujas del reloj desde el #X# eje en el # x, y # avión.
Entonces la primera superficie se convierte
# x ^ 2 + y ^ 2 = 81 #
# r ^ 2cos ^ 2 theta + r ^ 2sin ^ 2 theta = 81 #
# r ^ 2 = 81 #
# r = 9 #, Debido a la identidad trigonométrica de Pitágoras.
La segunda superficie se convierte en.
#z = xy #
#z = rcos theta rsin theta #
# z = r ^ 2sin theta cos theta #.
Aprendimos de la ecuación de la primera superficie que la curva de intersección debe estar a una distancia al cuadrado. # r ^ 2 = 81 # desde la primera superficie, dando esa
#z = 81 sin theta cos theta #, #z = (81/2) sin2 theta #, una curva parametrizada por # theta #. El último paso es una identidad trigonométrica y se realiza solo por preferencia personal.
De esta expresión vemos que la curva es de hecho una curva, ya que tiene un grado de libertad.
Todos, en total, podemos escribir la curva como
# (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #, que es una función vectorial de una sola variable. # theta #.
Responder:
Vea abajo.
Explicación:
Teniendo en cuenta la intersección de
# C_1 -> {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (z en RR):} #
con
# C_2-> z = x y #
o # C_1 nn C_2 #
tenemos
# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (x ^ 2y ^ 2 = z ^ 2):} #
ahora resolviendo para # x ^ 2, y ^ 2 # obtenemos las curvas paramétricas
# {(x ^ 2 = 1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))), (y ^ 2 = 1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))):} # o
# {(x = pm sqrt (1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))), (y = pm sqrt (1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2) -4 z ^ 2)))):} #
cuales son reales para
# r ^ 2-4 z ^ 2 ge 0 rArr z lepm (r / 2) ^ 2 #
Adjuntamos una gráfica que muestra la curva de intersección en rojo (una hoja).
