¿Cuál es la opción correcta de la pregunta dada? pd: obtuve 98 como respuesta pero no es correcto (idk, quizás la respuesta dada en la parte posterior sea incorrecta, también puedes ver y volver a verificar mi solución, adjunto la solución debajo de la pregunta)

Responder:

#98# es la respuesta correcta

Explicación:

Dado:

# 4x ^ 3-7x ^ 2 + 1 = 0 #

Dividiendo por #4# encontramos:

# x ^ 3-7 / 4x ^ 2 + 0x + 1/4 #

# = (x-alfa) (x-beta) (x-gamma) #

# = x ^ 3- (alpha + beta + gamma) x ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

Asi que:

# {(alfa + beta + gamma = 7/4), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = 0), (alphabetagamma = -1/4):} #

Asi que:

#49/16 = (7/4)^2-2(0)#

#color (blanco) (49/16) = (alfa + beta + gamma) ^ 2-2 (alfabeta + betagamma + gammaalpha) #

#color (blanco) (49/16) = alfa ^ 2 + beta ^ 2 + gamma ^ 2 #

y:

#7/8 = 0 - 2(-1/4)(7/4)#

#color (blanco) (7/8) = (alphabeta + betagamma + gammaalpha) ^ 2-2alphabetagamma (alpha + beta + gamma) #

#color (blanco) (7/8) = alfa ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2alpha ^ 2 #

Asi que:

#49/128 = (7/8)^2-2(-1/4)^2(49/16)#

#color (blanco) (49/128) = (alfa ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2alpha ^ 2) ^ 2-2 (alphabetagamma) ^ 2 (alfa ^ 2 + beta ^ 2 + gamma ^ 2) #

#color (blanco) (49/128) = alfa ^ 4beta ^ 4 + beta ^ 4gamma ^ 4 + gamma ^ 4alpha ^ 4 #

Asi que:

#alpha ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4) = (alfa ^ 4beta ^ 4 + beta ^ 4gamma ^ 4 + gamma ^ 4alpha ^ 4) / (alphabetagamma) ^ 4 #

#color (blanco) (alfa ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4)) = (49/128) / (- 1/4) ^ 4 #

#color (blanco) (alfa ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4)) = (49/128) / (1/256) #

#color (blanco) (alfa ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4)) = 98 #

Responder:

#98#

Explicación:

Como alternativa, como verificación adicional, tenga en cuenta que las raíces de:

# 4x ^ 3-7x ^ 2 + 1 = 0 #

Son los recíprocos de las raíces de:

# x ^ 3-7x + 4 = 0 #

Para que podamos encontrar # alpha ^ 4 + beta ^ 4 + gamma ^ 4 # Para las raíces de este cúbico para calcular. #alpha ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4) # Por las raíces del cúbico original.

Dado:

# x ^ 3 + 0x ^ 2-7x + 4 #

# = (x-alfa) (x-beta) (x-gamma) #

# = x ^ 3- (alpha + beta + gamma) x ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

Encontramos:

# {(alpha + beta + gamma = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -7), (alphabetagamma = 4):} #

Asi que:

# alpha ^ 2 + beta ^ 2 + gamma ^ 2 #

# = (alfa + beta + gamma) ^ 2-2 (alphabeta + betagamma + gammaalpha) = 0-2 (-7) = 14 #

# alpha ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2alpha ^ 2 #

# = (alphabeta + betagamma + gammaalpha) ^ 2-2alphabetagamma (alpha + beta + gamma) = (-7) ^ 2-2 (4) (0) = 49 #

# alpha ^ 4 + beta ^ 4 + gamma ^ 4 #

# = (alfa ^ 2 + beta ^ 2 + gamma ^ 2) ^ 2-2 (alfa ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2gam ^ 2 + gamma ^ 2alpha ^ 2) = 14 ^ 2-2 (49) = 196- 98 = 98 #