¿Cómo evalúo cos (pi / 5) sin usar una calculadora?

Responder:

Cos (#Pi# / 5) = cos 36 ° = (# sqrt #5 + 1)/4.

Explicación:

Si # theta # = #Pi#/ 10, luego 5# theta # = #Pi#/2 #=># cos3# theta # = sin2# theta #. cos (#Pi# /2 - #alfa#) = pecado#alfa#}.

#=># 4# cos ^ 3 # # theta # - 3cos# theta # = 2sin# theta #cos# theta ##=># 4 # cos ^ 2 ## theta # - 3 = 2 pecado # theta #.

#=># 4 (1 - # sin ^ 2 # # theta #) - 3 = 2 pecado# theta #. #=># 4# sin ^ 2 # # theta #+ 2sin# theta # - 1 = 0#=>#

pecado# theta # =(# sqrt # 5 - 1) /4.

Ahora cos 2# theta # = cos #Pi#/5 = 1 - 2# sin ^ 2 # # theta #, da el resultado.

Responder:

#Cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

Explicación:

Dejar #a = cos (pi / 5) #, #b = cos (2 * pi / 5) #. Así #cos (4 * pi / 5) = -a #. De las fórmulas de doble ángulo:

#b = 2a ^ 2-1 #

# -a = 2b ^ 2-1 #

Restando, # a + b = 2 (a ^ 2-b ^ 2) = 2 (a + b) (a-b) #

# a + b # no es cero, ya que ambos términos son positivos, entonces # a-b # debe ser #1/2#. Entonces

# a-1/2 = 2a ^ 2-1 #

# 4a ^ 2-2a-1 = 0 #

y la única raíz positiva es

#a = cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

Y #b = cos (2 * pi / 5) = a-1/2 = (sqrt (5) -1) / 4 #.