El producto de dos enteros positivos consecutivos es 11 más que su suma, ¿cuáles son los enteros?

Si los enteros son #metro# y # m + 1 #, entonces nos dan:

#mxx (m + 1) = m + (m + 1) + 11 #

Es decir:

# m ^ 2 + m = 2m + 12 #

Sustraer # 2m + 12 # de ambos lados para obtener:

# 0 = m ^ 2-m-12 = (m-4) (m + 3) #

Esta ecuación tiene soluciones. # m = -3 # y # m = 4 #

Nos dijeron que #metro# y # m + 1 # Son positivos, por lo que podemos rechazar. # m = -3 #, dejando la solución única # m = 4 #.

Así que los enteros son # m = 4 # y # m + 1 = 5 #.

El producto de dos enteros impares consecutivos es 29 menos que 8 veces su suma. Encuentra los dos enteros. ¿Responde en forma de puntos emparejados con el menor de los dos enteros primero?

(13, 15) o (1, 3) Sean x y x + 2 los números impares consecutivos, luego Según la pregunta, tenemos (x) (x + 2) = 8 (x + x + 2) - 29 :. x ^ 2 + 2x = 8 (2x + 2) - 29:. x ^ 2 + 2x = 16x + 16 - 29:. x ^ 2 + 2x - 16x - 16 + 29 = 0:. x ^ 2 - 14x + 13 = 0:. x ^ 2 -x - 13x + 13 = 0:. x (x - 1) - 13 (x - 1) = 0:. (x - 13) (x - 1) = 0:. x = 13 o 1 Ahora, CASO I: x = 13:. x + 2 = 13 + 2 = 15:. Los números son (13, 15). CASO II: x = 1:. x + 2 = 1+ 2 = 3:. Los números son (1, 3). Por lo tanto, como aquí se están formando dos casos; el par de números puede ser ambos (13, 15) o (1, 3).

El producto de dos enteros pares consecutivos positivos es 14 más que su suma. ¿Cuáles son los dos números?

4 y 6 n = "el primer número" (n + 2) = "el segundo número" Configure una ecuación usando la información n xx (n + 2) = n + (n + 2) + 14 haciendo las operaciones. n ^ 2 + 2n = 2n + 16 "" Resta 2n de ambos lados n ^ 2 + 2n - 2n = 2n -2n + 16 "" esto resulta en n ^ 2 = 16 "" toma la raíz cuadrada de ambos lados. sqrt n ^ 2 = + -sqrt 16 "" Esto da n = 4 "o" n = -4 "" la respuesta negativa no es válida n = 4 "" agregue 2 para encontrar n + 2, el segundo número 4 + 2 = 6 Los números son 4 y 6.

Conociendo la fórmula de la suma de los N enteros a) ¿cuál es la suma de los primeros N enteros cuadrados consecutivos, Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + cdots + (N-1 ) ^ 2 + N ^ 2? b) Suma de los primeros N enteros consecutivos del cubo Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 3?

Para S_k (n) = suma_ {i = 0} ^ ni ^ k S_1 (n) = (n (n + 1)) / 2 S_2 (n) = 1/6 n (1 + n) (1 + 2 n ) S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)) / 4 Tenemos sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 3 - (n + 1) ^ 3 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = suma_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 0 = 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 resolviendo para sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n + 1) ^ 3 / 3- (n + 1) / 3-sum_ {i = 0} ^ ni pero sum_ {i = 0} ^ ni = ((n + 1) n) / 2 así que sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n