¿Cuál es el método más rápido y fácil para resolver ecuaciones cúbicas y quárticas (sin una calculadora polinómica)?

Responder:

Depende…

Explicación:

Si el cúbico o el quártico (o cualquier polinomio de grado para el caso) tiene raíces racionales, entonces el teorema de las raíces racionales puede ser la forma más rápida de encontrarlos.

La Regla de signos de Descartes también puede ayudar a identificar si una ecuación polinomial tiene raíces positivas o negativas, por lo que ayuda a reducir la búsqueda.

Para una ecuación cúbica, puede ser útil evaluar el discriminante:

#Delta = b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-4b ^ 3d-27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd #

• Si #Delta = 0 # entonces el cúbico tiene una raíz repetida.

• Si #Delta <0 # entonces el cúbico tiene una raíz real y dos raíces complejas no reales.

• Si #Delta> 0 # Entonces el cúbico tiene tres raíces reales.

Si #Delta = 0 # entonces el cúbico comparte un factor con su derivado, por lo que debería poder encontrar su factor común al calcular el GCF polinomial.

De lo contrario, probablemente sea útil usar una transformación Tschirnhaus para derivar una cúbico deprimido Sin término al cuadrado antes de seguir adelante.

Si un cúbico tiene una raíz real y dos no reales, recomendaría el método de Cardano.

Si tiene tres raíces reales, entonces recomendaría usar una sustitución trigonométrica.

Para la cuarentena, puede obtener una quártica deprimida sin término de cubo por una sustitución como #t = x + b / (4a) #.

Si el quártico resultante tampoco tiene un término lineal, entonces es un cuadrático en # x ^ 2 #. Puede resolverlo como un cuadrático y tomar raíces cuadradas, o usar una factorización de la forma:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + b) = x ^ 4 + (2b-a ^ 2) x ^ 2 + b ^ 2 #

A partir de esto puedes encontrar factores cuadráticos para resolver.

Si el quártico resultante tiene un término lineal, entonces se puede factorizar en la forma:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + c) = x ^ 4 + (b + c-a ^ 2) x ^ 2 + a (b-c) x + bc #

Coeficientes de igualación y uso # (b + c) ^ 2 = (b-c) ^ 2 + 4bc #, puedes derivar un cúbico en # a ^ 2 #. Por lo tanto puedes encontrar posibles valores para #una#, #segundo# y #do#. Luego encuentra los ceros de los factores cuadráticos.

Hay otros casos especiales, pero eso lo cubre más o menos.