¿Cuál es la ecuación en forma estándar de la parábola con un enfoque en (42, -31) y una directriz de y = 2?

Responder:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # forma estándar

Explicación:

Por favor observe que la directriz es una línea horizontal.

#y = 2 #

Por lo tanto, la parábola es el tipo que se abre hacia arriba o hacia abajo; La forma de vértice de la ecuación para este tipo es:

#y = 1 / (4f) (x -h) ^ 2 + k "1" #

Dónde # (h, k) # es el vértice y #F# es la distancia vertical firmada desde el vértice al foco.

La coordenada x del vértice es la misma que la coordenada x del foco:

#h = 42 #

Sustituir #42# para # h # en la ecuación 1:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2 + k "2" #

La coordenada y del vértice está a medio camino entre la directriz y el foco:

#k = (y_ "directriz" + y_ "focus") / 2 #

#k = (2 + (- 31)) / 2 #

#k = -29 / 2 #

Sustituir #-29/2# para # k # en la ecuación 2:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2-29 / 2 "3" #

La ecuación para encontrar el valor de #F# es:

#f = y_ "focus" -k #

#f = -31- (-29/2) #

#f = -33 / 2 #

Sustituir #-33/2# para #F# en la ecuación 3:

#y = 1 / (4 (-33/2)) (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Simplifica la fracción:

#y = -1/66 (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Expandir el cuadrado:

#y = -1/66 (x ^ 2 -84x + 1764) -29 / 2 #

Distribuye la fracción:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 294 / 11-29 / 2 #

Combina términos semejantes:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # forma estándar

Responder:

# y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

Explicación:

Vamos a resolver esto Problema usando el siguiente Focus-Directrix

Propiedad (FDP) del Parábola.

FDP: Cualquier punto en un Parábola es equidistante desde el

Atención y el Directora.

Vamos, el punto # F = F (42, -31), "y, la línea" d: y-2 = 0, # ser

la Atención y el Directora del Parabola, decir S.

Dejar, # P = P (x, y) en S, # ser cualquiera Punto general.

Luego, usando el Fórmula de distancia, tenemos, la distancia,

# FP = sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} …………………………. (1). #

Sabiendo que el #larva del moscardón-#dist. entre un punto # (k, k), # y, una línea:

# ax + by + c = 0, # es, # | ah + bk + c | / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2), # encontramos eso, # "the" bot- "dist. btwn" P (x, y), &, d "es," | y-2 | ………….. (2). #

Por FDP, # (1), y (2), # tenemos, # sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} = | y-2 |, o, #

# (x-42) ^ 2 = (y-2) ^ 2- (y + 31) ^ 2 = -66y-957, es decir, #

# x ^ 2-84x + 1764 = -66y-957. #

#:. 66y = -x ^ 2 + 84x-2721, # el cual, en el Forma estándar, lee # y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

como Respetado Douglas K. Sir ya ha derivado!

Disfruta de las matemáticas!