Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Calcule el valor de expectativa en cualquier momento posterior t = t_1, phi_n son funciones propias de la energía del pozo de potencial infinito. ¿Escribe la respuesta en términos de E_0?

Bueno me entiendo # 14 / 5E_1 #… y dado su sistema elegido, no puede ser re-expresado en términos de # E_0 #.

Hay tantas reglas de mecánica cuántica rotas en esta pregunta …

los # phi_0 #, ya que estamos utilizando infinitas soluciones potenciales de pozos, desaparece automáticamente … #n = 0 #, asi que #sin (0) = 0 #.

Y para el contexto, habíamos dejado #phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) #…

Es imposible para escribir la respuesta en términos de # E_0 # porque #n = 0 # NO existe bien para el potencial infinito. A menos que quieras que la partícula desaparecer , Debo escribirlo en términos de # E_n #, #n = 1, 2, 3,… #…
La energía es una constante del movimiento, es decir, # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

Y ahora…

#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L) #

El valor esperado es una constante del movimiento, por lo que no nos importa a qué hora # t_1 # nosotros elegimos. De lo contrario, este no es un sistema conservador …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # para algunos #n = 1, 2, 3,… #

De hecho, ya sabemos lo que debería ser, ya que el Hamiltoniano para el pozo infinito de potencial unidimensional es INDEPENDIENTE al tiempo …

#hatH = -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

y el # (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # ir a 1 en la integral:

#color (azul) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

donde hemos dejado #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. Nuevamente, todos los factores de fase se cancelan, y notamos que los términos fuera de la diagonal van a cero debido a la ortogonalidad de la # phi_n #.

El denominador es la norma de #Psi#, cual es

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

Por lo tanto, # << Psi | Psi >> = 5/6 #. Eso da:

# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) cancel (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((pix) / L) cancelar (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) cancelar (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((2pix) / L) cancelar (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

Aplicar los derivados:

# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 sin ((pix) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 sin ((2pix) / L) dx #

Las constantes flotan hacia fuera:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) sin ((pix) / L) dx + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) dx #

Y esta integral es conocida por razones físicas de estar a medio camino entre #0# y # L #, independiente de #norte#:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = color (azul) (14/5 E_1) #

Responder:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

Explicación:

Cada estado estacionario correspondiente al valor propio de la energía. # E_n # recoge un factor de fase #e ^ {- iE_n t} # en la evolución del tiempo. El estado dado es no un estado estacionario - ya que es la superposición de estados propios de energía que pertenecen a diferentes valores propios. Como resultado, evolucionará en el tiempo de una manera no trivial. Sin embargo, la ecuación de Schroedinger que gobierna la evolución temporal de los estados es lineal, de modo que la función propia de cada componente de la energía evoluciona de manera independiente, recogiendo su propio factor de fase.

Por lo tanto, la función de onda de partida

#psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) #

evoluciona en el tiempo # t # a

#psi_A (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

Así, el valor de la expectativa de energía en el tiempo. # t # es dado por

# <E> = int_-infty ^ infty psi_A ** (x, t) hat {H} psi_A (x, t) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {iE_2ℏ t}) hat {H} (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

# = int_-infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {iE_2 / ℏ t}) veces (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ -iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

donde hemos utilizado el hecho de que la #phi_i (x) # Son funciones propias de la energía, por lo que #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

Esto todavía nos da nueve términos. Sin embargo, el cálculo final se simplifica mucho por el hecho de que las funciones propias de la energía están orto-normalizadas, es decir ellos obedecen

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

Esto significa que de las nueve integrales, solo tres sobreviven, y obtenemos

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

Usando el resultado estándar que #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, tenemos # E_1 = 4E_0 # y # E_2 = 9E_0 # para un pozo infinito potencial (puede estar más acostumbrado a una expresión que dice #E_n propto n ^ 2 # para un pozo infinito - pero en estos el estado fundamental está etiquetado # E_1 # - aquí lo estamos etiquetando # E_0 # - de ahí el cambio). Así

# <E> = (1/6 veces 1 + 1/3 veces 4 + 1/2 veces 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

Nota:

Mientras que las funciones propias de la energía evolucionan en el tiempo al captar un factor de fase, la función de onda general no difieren de la inicial por solo un factor de fase, por eso ya no es un estado estacionario.
Las integrales involucradas eran como

# int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / ℏt} veces int_-infty ^ infty psi_i (x) psi_j (x) dx #

y estos parecen que son dependientes del tiempo. Sin embargo, las únicas integrales que sobreviven son las de # i = j # - y estos son precisamente aquellos para los que se cancela la dependencia del tiempo.
Los últimos resultados encajan con el hecho de que #hat {H} # se conserva, aunque el estado no sea estacionario, el valor de la expectativa de energía es independiente del tiempo.
La función de onda original ya está normalizada desde # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # y esta normalización se conserva en la evolución del tiempo.
Podríamos haber reducido mucho trabajo si hubiésemos hecho uso de un resultado mecánico cuántico estándar, si la función de onda se expandiera en la forma #psi = sum_n c_n phi_n # donde el # phi_n # Son funciones propias de un operador hermitiano #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, entonces # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #Siempre que, por supuesto, los estados estén debidamente normalizados.