¿Cómo se usa la primera prueba derivada para determinar los extremos locales y = sin x cos x?

Responder:

Los extremos para # y = sin (x) cos (x) # son

# x = pi / 4 + npi / 2 #

con #norte# un número entero relativo

Explicación:

Ser #f (x) # la función que representa la variación de # y # con respecto a #X#.

Ser #f '(x) # el derivado de #f (x) #.

#fa)# es la pendiente de la #f (x) # curva en el # x = a # punto.

Cuando la pendiente es positiva, la curva aumenta.

Cuando la pendiente es negativa, la curva disminuye.

Cuando la pendiente es nula, la curva permanece en el mismo valor.

Cuando la curva alcanza un extremo, dejará de aumentar / disminuir y comenzará a disminuir / aumentar. En otras palabras, la pendiente pasará de positivo a negativo -o negativo a positivo- pasando por el valor cero.

Por lo tanto, si está buscando los extremos de una función, debe buscar los valores nulos de sus derivados.

nótese bien Existe una situación en la que la derivada es nula pero la curva no alcanza un extremo: se llama punto de inflexión. la curva dejará momentáneamente de aumentar / disminuir y luego reanudará su aumento / disminución. Por lo tanto, también debe verificar si el signo de la pendiente cambia alrededor de su valor nulo.

Ejemplo: #f (x) = sin (x) cos (x) = y #

#f '(x) = (dsin (x)) / dxcdotcos (x) + sin (x) cdot (dcos (x)) / dx #

# = cos (x) cdotcos (x) + sin (x) cdot (-sin (x)) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) #

Ahora que tenemos la fórmula para #f '(x) #, buscaremos sus valores nulos:

#f '(x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin ^ 2 (x) #

Las soluciones son # pi / 4 + npi / 2 # con #norte# un entero relativo

Responder:

Incluso si planeamos usar la primera prueba derivada, vale la pena observar que #y = 1/2 pecado (2x) #.

Explicación:

Habiendo hecho esa observación, realmente no necesitamos cálculos para encontrar los extremos.

Podemos confiar en nuestro conocimiento de la trigonometría y en los gráficos de las funciones sinusoidales.

El valor máximo (de 1/2) se producirá cuando # 2x = pi / 2 + 2pik # o cuando #x = pi / 4 + pik # para # k # un entero

El mínimo ocurre en #x = 3pi / 4 + pik # para # k # un entero

Podemos usar el derivado, pero realmente no lo necesitamos.

Usando el Derivado

Habiendo reescrito # y #, podemos ver rápidamente que #y '= cos (2x) #

Así que los números críticos para # y # son # 2x = pi / 2 + 2pik # y # 2x = (3pi) / 2 + 2pik #, (cuando el coseno es #0#) o

# x = pi / 4 + pik # y # x = (3pi) / 4 + pik #

Comprobando el signo de #y '= cos (2x) #, encontraremos valores máximos en el primer conjunto de números críticos y valores mínimos en el segundo.