Responder:
El discriminante #Delta# de # m ^ 2 + m + 1 = 0 # es #-3#.
Asi que # m ^ 2 + m + 1 = 0 # no tiene soluciones reales Tiene un par conjugado de soluciones complejas.
Explicación:
# m ^ 2 + m + 1 = 0 # es de la forma # am ^ 2 + bm + c = 0 #, con # a = 1 #, # b = 1 #, # c = 1 #.
Esto tiene discriminante #Delta# dada por la fórmula:
#Delta = b ^ 2-4ac = 1 ^ 2 - (4xx1xx1) = -3 #
Podemos concluir que # m ^ 2 + m + 1 = 0 # No tiene raíces reales.
Las raices de # m ^ 2 + m + 1 = 0 # Están dados por la fórmula cuadrática:
#m = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = (-b + -sqrt (Delta)) / (2a) #
Observe que el discriminante es la parte dentro de la raíz cuadrada. Así que si #Delta> 0 # entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales distintas. Si #Delta = 0 # Entonces tiene una raíz real repetida. Si #Delta <0 # entonces tiene un par de raíces complejas distintas.
En nuestro caso:
#m = (-b + -sqrt (Delta)) / (2a) = (-1 + -sqrt (-3)) / 2 = (-1 + -i sqrt (3)) / 2 #
El número # (- 1 + i sqrt (3)) / 2 # a menudo se denota por la letra griega #omega#.
Es la raíz cúbica primitiva de #1# y es importante cuando se encuentran todas las raíces de una ecuación cúbica general.
Darse cuenta de # (m-1) (m ^ 2 + m + 1) = m ^ 3 - 1 #
Asi que # omega ^ 3 = 1 #
Responder:
El discriminante de # (m ^ 2 + m + 1 = 0) # es #(-3)# lo que nos dice que no hay soluciones reales para la ecuación (una gráfica de la ecuación no cruza el eje m).
Explicación:
Dada una ecuación cuadrática (usando #metro# como la variable) en la forma:
#color (blanco) ("XXXX") ## am ^ 2 + bm + c = 0 #
La solución (en términos de #metro#) viene dada por la fórmula cuadrática:
#color (blanco) ("XXXX") ##m = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #
los discriminante es la parte:
#color (blanco) ("XXXX") ## b ^ 2-4ac #
Si el discriminante es negativo
#color (blanco) ("XXXX") #puede haber no hay soluciones reales
#color (blanco) ("XXXX") #(ya que no hay un valor real que sea la raíz cuadrada de un número negativo).
Para el ejemplo dado
#color (blanco) ("XXXX") ## m ^ 2 + m + 1 = 0 #
el discriminante, #Delta# es
#color (blanco) ("XXXX") ##(1)^2 - 4(1)(1) = -3#
y por lo tanto
#color (blanco) ("XXXX") #No hay soluciones reales a esta cuadrática.
