¿Cuál es el dominio y el rango de y = 4 / (x ^ 2-1)?

Responder:

Dominio: # (- oo, -1) uu (-1, 1) uu (1, oo) #

Distancia: # (- oo, -4 uu (0, oo) #

Explicación:

Se explica mejor a través de la gráfica.

gráfica {4 / (x ^ 2-1) -5, 5, -10, 10}

Podemos ver que para el dominio, la gráfica comienza en el infinito negativo. Luego golpea una asíntota vertical en x = -1.

Eso es un lenguaje matemático sofisticado para la gráfica que no se define en x = -1, porque a ese valor tenemos #4/((-1)^2-1)# que es igual a #4/(1-1)# o #4/0#.

Como no puede dividir por cero, no puede tener un punto en x = -1, por lo que lo mantenemos fuera del dominio (recuerde que el dominio de una función es la colección de todos los valores de x que producen un valor y).

Luego, entre -1 y 1, todo está bien, así que tenemos que incluirlo en el dominio.

Las cosas empiezan a ponerse de moda en x = 1 de nuevo. Una vez más, cuando conectas 1 por x, el resultado es #4/0# así que tenemos que excluir eso del dominio.

Para resumir, el dominio de la función es de infinito negativo a -1, luego de -1 a 1, y luego a infinito. La forma matemática de expresar eso es # (- oo, -1) uu (-1, 1) uu (1, oo) #.

El rango sigue la misma idea: es el conjunto de todos los valores y de la función. Podemos ver en el gráfico que desde el infinito negativo hasta -4, todo está bien.

Entonces las cosas empiezan a ir hacia el sur. En y = -4, x = 0; pero luego, si intentas y = -3, no obtendrás una x. Reloj:

# -3 = 4 / (x ^ 2-1) #

# -3 (x ^ 2-1) = 4 #

# x ^ 2-1 = -4 / 3 #

# x ^ 2 = -4 / 3 + 1 = -1 / 3 #

#x = sqrt (-1/3) #

No hay tal cosa como la raíz cuadrada de un número negativo. Eso está diciendo que algún número al cuadrado es igual #-1/3#, lo cual es imposible porque cuadrar un número siempre tiene un resultado positivo.

Eso significa #y = "-" 3 # No está definido y, por lo tanto, no forma parte de nuestra gama. Lo mismo es cierto para todos los valores de y entre 4 y 0.

Desde 0 arriba, todo es bueno hasta el infinito. Nuestro rango es entonces infinito negativo a -4, luego 0 a infinito; en términos matemáticos, # (- oo, -4 uu (0, oo) #.

En general, para encontrar el dominio y el rango, hay que buscar lugares donde las cosas son sospechosas. Eso usualmente involucra cosas como dividir por cero, tomar la raíz cuadrada de un número negativo, etc.

Cuando encuentre un punto como este, elimínelo del dominio / rango y aumente su notación de intervalo.