¿Por qué es útil completar el cuadrado? + Ejemplo

Responder:

Simplificar expresiones cuadráticas para que puedan resolverse con raíces cuadradas.

Explicación:

Completar el cuadrado es un ejemplo de una transformación de Tschirnhaus: el uso de una sustitución (aunque implícitamente) para reducir una ecuación polinomial a una forma más simple.

Así dado:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 "" # con #a! = 0 #

podríamos escribir:

# 0 = 4a (ax ^ 2 + bx + c) #

#color (blanco) (0) = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac #

#color (blanco) (0) = (2ax) ^ 2 + 2 (2ax) b + b ^ 2- (b ^ 2-4ac) #

#color (blanco) (0) = (2ax + b) ^ 2- (sqrt (b ^ 2-4ac)) ^ 2 #

#color (blanco) (0) = ((2ax + b) -sqrt (b ^ 2-4ac)) ((2ax + b) + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

#color (blanco) (0) = (2ax + b-sqrt (b ^ 2-4ac)) (2ax + b + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

Por lo tanto:

# 2ax = -b + -sqrt (b ^ 2-4ac) #

Asi que:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Así que habiendo comenzado con una ecuación cuadrática en la forma:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

lo conseguimos en una forma # t ^ 2-k ^ 2 = 0 # con #t = (2ax + b) # y # k = sqrt (b ^ 2-4ac) #, eliminando el término lineal dejando solo términos al cuadrado.

Mientras estemos contentos al calcular las raíces cuadradas, ahora podemos resolver cualquier ecuación cuadrática.

Completar el cuadrado también es útil para obtener la ecuación de un círculo, elipse u otra sección cónica en forma estándar.

Por ejemplo, dado:

# x ^ 2 + y ^ 2-4x + 6y-12 = 0 #

Al completar la plaza encontramos:

# (x-2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 5 ^ 2 #

lo que nos permite identificar esta ecuación como la de un círculo con centro #(2, -3)# y radio #5#.