Probar sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

Responder:

En la explicación

Explicación:

En un plano de coordenadas normal, tenemos coordenadas como (1,2) y (3,4) y cosas por el estilo. Podemos reexpresar estas coordenadas en términos de radios y ángulos. Entonces, si tenemos el punto (a, b) eso significa que vamos unidades a la derecha, b unidades hacia arriba y #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # como la distancia entre el origen y el punto (a, b). llamaré #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

Entonces tenemos # re ^ arctan (b / a) #

Ahora para terminar esta prueba recordemos una fórmula.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

La función del arco bronceado me da un ángulo que también es theta.

Así que tenemos la siguiente ecuación:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + sin (arctan (b / a)) #

Ahora dibujemos un triángulo rectángulo.

El arctan de (b / a) me dice que b es el lado opuesto y a es el lado adyacente. Entonces, si quiero el cos del arctan (b / a), usamos el teorema de Pitágoras para encontrar la hipotenusa. La hipotenusa es #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #. Entonces el cos (arctan (b / a)) = adyacente sobre hipotenusa = # a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

La mejor parte de esto es el hecho de que este mismo principio se aplica al seno. Entonces, pecado (arctan (b / a)) = opuesto sobre hipotenusa = # b / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Así que ahora podemos volver a expresar nuestra respuesta como esta: #r * ((a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) + (bi / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2))) #.

Pero recuerda #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # Así que ahora tenemos: #r * ((a / r) + (bi / r)) #. La r es cancelada, y te queda lo siguiente: # a + bi #

Por lo tanto, # (re ^ ((arctan (b / a)))) = a + bi #