Pregunta # 69feb

Responder:

Línea normal: # y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #. Linea tangente: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Explicación:

Para la intuición: Imagina que la función. #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # describe la altura de algún terreno, donde #X# y # y # Son coordenadas en el plano y #ln (y) # Se asume que es el logaritmo natural. Entonces todo # (x, y) # tal que #f (x, y) = a # (la altura) es igual a alguna constante #una# Se llaman curvas de nivel. En nuestro caso la altura constante. #una# es cero, ya que #f (x, y) = 0 #.

Puede estar familiarizado con los mapas topográficos, en los que las líneas cerradas indican líneas de igual altura.

Ahora el gradiente #grad f (x, y) = ((parcial f) / (parcial x), (parcial f) / (parcial x)) = (e ^ x ln (y) - y, e ^ x / y - x) # nos da la dirección en un punto # (x, y) # en el cual #f (x, y) # (La altura) cambia el más rápido. Esto puede ser hacia arriba o hacia abajo de la colina, siempre que nuestro terreno sea liso (diferenciable) y no estemos en la cima, en la parte inferior o en una meseta (un punto extremo). Esta es, de hecho, la dirección normal a una curva de altura constante, tal que en # (x, y) = (2, e ^ 2) #:

#grad f (2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^ 2 - 2) = (e ^ 2, -1) #.

por lo tanto, el línea normal en esa dirección pasando por # (2, e ^ 2) # puede ser descrito como

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, dónde #s en mathbbR # Es un parámetro real. Puedes eliminar # s # para expresar # y # como una función de #X# si prefieres, encontrar

# y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.

La derivada direccional en la dirección tangente debe ser #0# (lo que significa que la altura no cambia), por lo que un vector tangente # (u, v) # debe satisfacer

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# v = e ^ 2u #, dónde # cdot # significa el producto punto. Asi que # (u, v) = (1, e ^ 2) # Es una opción válida. por lo tanto, el linea tangente ir a través # (2, e ^ 2) # puede ser descrito como

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #t en mathbbR #.

Resolviendo para # y # da eso

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Finalmente deberías comprobar que # (2, e ^ 2) # se encuentra en la curva #f (x, y) #, en la línea tangente, y en la línea normal.