¿Cuáles son los extremos locales, si los hay, de f (x) = x ^ 2 + 9x +1?

Responder:

Las parábola tienen exactamente un extremo, el vértice.

Es #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Ya que # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # En todas partes la función es cóncava en todas partes y este punto debe ser un mínimo.

Explicación:

Tienes dos raíces para encontrar el vértice de la parábola: una, usa el cálculo para encontrar donde la derivada es cero; dos, evitar el cálculo a toda costa y simplemente completar el cuadrado. Vamos a utilizar el cálculo para la práctica.

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #, tenemos que tomar el derivado de esto.

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

Por la linealidad de la derivada tenemos

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1) #.

Usando la regla de poder, # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # tenemos

# {d f (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9 #.

Establecemos esto igual a cero para encontrar los puntos críticos, los mínimos locales y globales y, a veces, los puntos de inflexión tienen derivados de cero.

# 0 = 2x + 9 # #=># # x = -9 / 2 #,

así que tenemos un punto crítico en # x = -9 / 2 # o #-4 1/2#.

Para encontrar la coordenada y del punto crítico, subencontraremos # x = -9 / 2 # de nuevo en la función, #f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

El punto crítico / vértice es #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Lo sabemos porque #a> 0 #, esto es un máximo.

Para encontrar formalmente si es un máximo o un mínimo, necesitamos hacer la segunda prueba derivada.

# {d ^ 2 f (x)} / dx = {d} / dx (2x + 9) = {d} / dx (2x) + {d} / dx (9) = 2 + 0 = 2 #

La segunda derivada es 2 en todos los valores de x. Esto significa que es mayor que cero en todas partes, y la función es cóncava en todas partes (es una parábola con #a> 0 # después de todo), por lo que los extremos deben ser un mínimo, el vértice.