¿Cuál es el comportamiento final de la función f (x) = ln x?

#f (x) = ln (x) -> infty # como #x -> infty # (#ln (x) # crece sin límite como #X# crece sin límite) y #f (x) = ln (x) -> - infty # como #x -> 0 ^ {+} # (#ln (x) # Crece sin límite en la dirección negativa como #X# Se acerca a cero desde la derecha).

Para probar el primer hecho, esencialmente necesita demostrar que la función creciente #f (x) = ln (x) # no tiene asíntota horizontal como #x -> infty #.

Dejar #M> 0 # ser cualquier número positivo dado (no importa cuán grande). Si #x> e ^ {M} #, entonces #f (x) = ln (x)> ln (e ^ {M}) = M # (ya que #f (x) = ln (x) # es una función creciente). Esto prueba que cualquier línea horizontal # y = M # no puede ser una asíntota horizontal de #f (x) = ln (x) # como #x -> infty #. El hecho de que #f (x) = ln (x) # Es una función creciente ahora implica que #f (x) = ln (x) -> infty # como # x-> infty #.

Para probar el segundo hecho, dejemos #M> 0 # cualquier número positivo dado para que # -M <0 # es cualquier número negativo dado (no importa cuán lejos de cero). Si # 0 <x <e ^ {- M} #, entonces #f (x) = ln (x) < ln (e ^ {- M}) = - M # (ya que #f (x) = ln (x) # esta incrementando). Esto prueba que #f (x) = ln (x) # se pone por debajo de cualquier línea horizontal si # 0 <x # es lo suficientemente cerca de cero. Eso significa #f (x) = ln (x) -> - infty # como #x -> 0 ^ {+} #.