Responder:
# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #
Explicación:
El área son la solución de este sistema:
# {(y <= - x ^ 2 + 2x + 3), (y> = 3):} #
Y está esbozado en esta trama:
La fórmula para el volumen de un sólido de rotación del eje x es:
# V = pi * int_a ^ b f ^ 2 (z) dz #.
Para aplicar la fórmula deberíamos traducir la media luna en el eje x, el área no cambiará, y por lo tanto no cambiará también el volumen:
# y = -x ^ 2 + 2x + 3color (rojo) (- 3) = - x ^ 2 + 2x #
# y = 3color (rojo) (- 3) = 0 #
De esta manera obtenemos #f (z) = - z ^ 2 + 2z #.
El área traducida ahora se traza aquí:
¿Pero cuáles son los ayb de la integral? Las soluciones del sistema:
# {(y = -x ^ 2 + 2x), (y = 0):} #
Asi que # a = 0 y b = 2 #.
Vamos a reescribir y resolver la integral:
# V = pi * int_0 ^ 2 (-z ^ 2 + 2z) ^ 2 dz #
# V = pi * int_0 ^ 2 z ^ 4-4z ^ 3 + 4z ^ 2 dz #
# V = pi * z ^ 5 / 5- (4z ^ 4) / 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #
# V = pi * z ^ 5/5-z ^ 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #
# V = pi * (2 ^ 5 / 5-2 ^ 4 + (4 * 2 ^ 3) / 3-0 ^ 5/5 + 0 ^ 4- (4 * 0 ^ 3) / 3) #
# V = pi * (32 / 5-16 + 32/3 + 0) #
# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #
# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #
# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #
Y este "limón" es el sólido obtenido:
