¿Cómo integrar sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?

Responder:

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

Explicación:

Dado que es más fácil tratar con uno solo #X# Bajo una raíz cuadrada, completamos el cuadrado:

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + k #

# x ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k #

# k = -4 #

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 #

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx #

Ahora tenemos que hacer una sustitución trigonométrica. Voy a usar funciones trigonométricas hiperbólicas (porque la integral secante generalmente no es muy buena). Queremos utilizar la siguiente identidad:

# cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #

Para ello queremos # (x + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (theta) #. Podemos resolver para #X# Para obtener qué sustitución necesitamos:

# x + 2 = 2cosh (theta) #

# x = 2cosh (theta) -2 #

Integrar con respecto a # theta #, tenemos que multiplicar por el derivado de #X# con respecto a # theta #:

# dx / (d theta) = 2sinh (theta) #

#int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int sqrt ((2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta) d theta = #

# = 2int sqrt (4cosh ^ 2 (theta) -4) * sinh (theta) d theta = 2int sqrt (4 (cosh ^ 2 (theta) -1)) * sinh (theta) d theta = #

# = 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta) d theta = #

Ahora podemos usar la identidad. # cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #:

# = 4int sqrt (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d theta = 4int sinh ^ 2 (theta) d theta #

Ahora usamos la identidad:

# sinh ^ 2 (theta) = 1/2 (cosh (2theta) -1) #

# 4 / 2int cosh (2theta) -1 d theta = int 2cosh (2theta) d theta-2theta = #

Podríamos hacer una sustitución explícita de u para # 2cosh (2theta) #, pero es bastante obvio que la respuesta es #sinh (2theta) #:

# = sinh (2theta) -2theta + C #

Ahora tenemos que deshacer la sustitución. Podemos resolver para # theta # Llegar:

# theta = cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) #

Esto da:

#sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #