¿Cuál es la multiplicidad de la raíz real de una ecuación que cruza / toca el eje x una vez?

¿Cuál es la multiplicidad de la raíz real de una ecuación que cruza / toca el eje x una vez?
Anonim

Responder:

Algunas observaciones …

Explicación:

Tenga en cuenta que #f (x) = x ^ 3 # tiene las propiedades:

  • #f (x) # es de grado #3#

  • El único valor real de #X# para cual #f (x) = 0 # es # x = 0 #

Esas dos propiedades solas no son suficientes para determinar que el cero en # x = 0 # es de multiplicidad #3#.

Por ejemplo, considere:

#g (x) = x ^ 3 + x = x (x ^ 2 + 1) #

Tenga en cuenta que:

  • #g (x) # es de grado #3#

  • El único valor real de #X# para cual #g (x) = 0 # es # x = 0 #

Pero la multiplicidad del cero de #g (x) # a # x = 0 # es #1#.

Algunas cosas que podemos decir:

  • Un polinomio de grado. #n> 0 # tiene exactamente #norte# Ceros complejos (posiblemente reales) contando multiplicidad. Esta es una consecuencia del Teorema Fundamental del Algebra.

  • #f (x) = 0 # sólo cuando # x = 0 #, sin embargo, es de grado #3#, asi que tiene #3# ceros contando multiplicidad.

  • Por lo tanto, ese cero en # x = 0 # debe ser de multiplicidad #3#.

¿Por qué no es lo mismo de #g (x) #?

Es de grado #3#, también tiene tres ceros, pero dos de ellos son ceros complejos no reales, nombre # + - i #.

Otra forma de ver esto es observar que # x = a # es un cero de #f (x) # si y solo si # (x-a) # es un factor

Encontramos:

#f (x) = x ^ 3 = (x-0) (x-0) (x-0) #

Es decir: # x = 0 # es un cero #3# veces más