¿Cuándo sé cuándo usar "completar el cuadrado"?

Responder:

Depende de la información que esté tratando de obtener y de lo sencillo que sea el problema cuadrático al que se enfrenta …

Explicación:

Si estás tratando de encontrar el vértice de una parábola descrita por una ecuación cuadrática, completar el cuadrado es la forma más natural de hacerlo.

Si está tratando de encontrar las raíces de una ecuación cuadrática, completar el cuadrado "siempre funcionará", en el sentido de que no requiere que los factores sean racionales y en el sentido de que le dará las raíces complejas si el Las raíces cuadráticas no son reales.

Por otro lado, puede haber factores obvios o fáciles de encontrar que son un poco más rápidos.

Por ejemplo, supongamos que está intentando factorizar la cuadrática:

#f (x) = 37x ^ 2-13x-24 #

Parece un poco tedioso de hacer, pero observe que la suma de los coeficientes (#37-13-24#) es #0#. Eso significa que #f (1) = 0 # y # (x-1) # es un factor de #f (x) #. Entonces es fácil encontrar el otro factor:

# 37x ^ 2-13x-24 = (x-1) (37x + 24) #

Si una cuadrática es obviamente de la forma. # a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 # entonces sé que ya es cuadrada, siendo igual a # (a + b) ^ 2 #. Por ejemplo:

# 9x ^ 2-24x + 16 = (3x-4) ^ 2 # con # a = 3x # y # b = -4 #.

En general puedes completar el cuadrado de la siguiente manera:

# ax ^ 2 + bx + c = a (x + b / (2a)) ^ 2 + (c - b ^ 2 / (4a)) #

Usualmente primero reviso #Delta = b ^ 2-4ac # para ver si estoy frente a una cuadrática que tenga un buen factor o tengo que usar métodos más pesados.