¿Cuál es el significado de la derivada parcial? Da un ejemplo y ayúdame a entender en breve.

Responder:

Vea abajo.

Explicación:

Espero que ayude.

La derivada parcial está asociada intrínsecamente a la variación total.

Supongamos que tenemos una función #f (x, y) # y queremos saber cuánto varía cuando introducimos un incremento en cada variable.

Arreglando ideas, haciendo #f (x, y) = k x y # queremos saber cuanto es

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

En nuestro ejemplo de función tenemos

#f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy #

y entonces

#df (x, y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k x y = k x dx + k y dy + k dx dy #

Eligiendo #dx, dy # arbitrariamente pequeño entonces #dx dy approx 0 # y entonces

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

pero en general

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (2 f (x + dx, y + dy) -2f (x, y) + f (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy)) = #

# = 1/2 (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx dx +1/2 (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy dy + #

# + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x, y + dy)) / dx dx + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x + dx, y)) / dy dy #

ahora haciendo #dx, dy # tenemos arbitrariamente pequeño

#df (x, y) = 1/2 (2f_x (x, y) dx + 2f_y (x, y) dy) = f_x (x, y) dx + f_y (x, y) dy #

para que podamos calcular la variación total para una función dada, calculando las derivadas parciales #f_ (x_1), f_ (x_2), cdots, f_ (x_n) # y composición

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

Aquí, las cantidades #f_ (x_i) # se llaman derivadas parciales y también se pueden representar como

# (parcial f) / (parcial x_i) #

En nuestro ejemplo

#f_x = (parcial f) / (parcial x) = k x # y

#f_y = (parcial f) / (parcial y) = k y #

NOTA

#f_x (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dx #

#f_y (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dy #

Responder:

Vea abajo.

Explicación:

Para complementar la respuesta de Cesareo anterior, proporcionaré una definición introductoria matemáticamente menos rigurosa.

La derivada parcial, en términos generales, nos dice cuánto cambiará una función multivariable cuando se mantienen constantes otras variables. Por ejemplo, supongamos que nos dan

#U (A, t) = A ^ 2t #

Dónde # U # es la función de utilidad (felicidad) de un producto particular, #UNA# es la cantidad de producto, y # t # Es el tiempo para el que se utiliza el producto.

Supongamos que a la empresa que fabrica el producto le gustaría saber qué utilidad adicional puede obtener si aumenta la vida útil del producto en 1 unidad. El derivado parcial le dirá a la empresa este valor.

La derivada parcial generalmente se denota por la letra griega delta en minúscula (#parcial#), pero hay otras notaciones. Estaremos usando #parcial# por ahora.

Si intentamos descubrir cuánto cambia la utilidad del producto con un aumento de 1 unidad en el tiempo, estamos calculando la derivada parcial de la utilidad con respecto al tiempo:

# (parcial U) / (parcial) #

Para computar la DP, mantenemos constantes otras variables. En este caso, tratamos. # A ^ 2 #, la otra variable, como si fuera un número. Recuerde del cálculo introductorio que la derivada de una constante por una variable es solo la constante. Es la misma idea aquí: la derivada (parcial) de # A ^ 2 #, una constante, tiempos # t #, la variable, es solo la constante:

# (partialU) / (partialt) = A ^ 2 #

Así, un aumento de 1 unidad en el tiempo que se utiliza el producto produce # A ^ 2 # Más utilidad. En otras palabras, el producto se vuelve más satisfactorio si se puede usar más a menudo.

Hay mucho, mucho más que decir sobre las derivadas parciales; de hecho, los cursos completos de pregrado y posgrado pueden dedicarse a resolver solo algunos tipos de ecuaciones que involucran derivadas parciales, pero la idea básica es que la derivada parcial nos dice cuánto La variable cambia cuando las otras siguen siendo las mismas.