¿Cuál es el área de superficie del sólido creado girando f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), x en [1,3] alrededor del eje x?

Responder:

Determine el signo, luego integre por partes. Área es:

# A = 39.6345 #

Explicación:

Tienes que saber si #f (x) # es negativo o positivo en #1,3#. Por lo tanto:

# xe ^ -x-xe ^ x #

#x (e ^ -x-e ^ x) #

Para determinar un signo, el segundo factor será positivo cuando:

# e ^ -x-e ^ x> 0 #

# 1 / e ^ x-e ^ x> 0 #

# e ^ x * 1 / e ^ x-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0 #

Ya que # e ^ x> 0 # para cualquier #x en (-oo, + oo) # la desigualdad no cambia

# 1-e ^ (x + x)> 0 #

# 1-e ^ (2x)> 0 #

# e ^ (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#x <0 #

Entonces la función es solo positiva cuando x es negativa y viceversa. Ya que también hay una #X# factor en #f (x) #

#f (x) = x (e ^ -x-e ^ x) #

Cuando un factor es positivo, el otro es negativo, entonces f (x) es siempre negativo. Por lo tanto, el Área:

# A = -int_1 ^ 3f (x) dx #

# A = -int_1 ^ 3 (xe ^ -x-xe ^ x) dx #

# A = -int_1 ^ 3xe ^ -xdx + int_1 ^ 3xe ^ xdx #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (e ^ -x) ') dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = int_1 ^ 3x * (e ^ -x) 'dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x) 'e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x)' e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3 - - e ^ -x _1 ^ 3 + x (e ^ x) _ 1 ^ 3- e ^ x _1 ^ 3 #

# A = (3e ^ -3-1 * e ^ -1) + (e ^ -3-e ^ -1) + (3e ^ 3-1 * e ^ 1) - (e ^ 3-e ^ 1) #

# A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / e ^ 3-1 / e + 3e ^ 3-e-e ^ 3 + e #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

Usando la calculadora:

# A = 39.6345 #

Responder:

Área = 11,336.8 unidades cuadradas

Explicación:

lo dado #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

por simplicidad vamos #f (x) = y #

y # y = xe ^ -x -xe ^ x #

el primer derivado # y '# Es necesario en el cálculo de la superficie.

Zona # = 2pi int_1 ^ 3 y # # ds #

dónde # ds ## = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Zona # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Determinar la primera derivada. # y '#:

diferenciar # y = x (e ^ -x - e ^ x) # utilizando el derivado de la fórmula del producto

#y '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x #

Después de la simplificación y factorización, el resultado es

el primer derivado # y '= e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x) #

Calcule ahora el Área:

Área = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # ds #

Zona # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Zona

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

Para integrales complicadas como esta, podemos usar la Regla de Simpson:

así que eso

Zona

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

Área = -11,336.804

esto implica la dirección de la revolución para que pueda haber un área de superficie negativa o un área de superficie positiva. Consideremos el valor positivo Área = 11336.804 unidades cuadradas