La ecuación x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 = 0 tiene una raíz positiva. Verifique por cálculo que esta raíz se encuentra entre 1 y 2.¿Alguien puede por favor resolver esta pregunta?

UNA raíz de una ecuación es un valor para la variable (en este caso #X#) que hace que la ecuación sea verdadera. En otras palabras, si tuviéramos que resolver para #X#, entonces los valores resueltos serían las raíces.

Generalmente cuando hablamos de raíces, es con una función de #X#, me gusta # y = x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 #, y encontrar las raíces significa resolver para #X# cuando # y # es 0

Si esta función tiene una raíz entre 1 y 2, en algún momento #X#-valor entre # x = 1 # y # x = 2 #, la ecuación será igual a 0. Lo que también significa que, en algún punto de un lado de esta raíz, la ecuación es positiva, y en algún punto del otro lado, es negativa.

Ya que estamos tratando de mostrar que hay una raíz entre 1 y 2, si podemos mostrar que la ecuación cambia de signo entre estos dos valores, habremos terminado.

Que es # y # cuando # x = 1 #?

# y = x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 #

#color (blanco) y = (1) ^ 5-3 (1) ^ 3 + (1) ^ 2-4 #

#color (blanco) y = 1-3 + 1-4 #

#color (blanco) y = –5 #

#color (blanco) y <0 #

Ahora que es # y # cuando # x = 2 #?

# y = x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 #

#color (blanco) y = (2) ^ 5-3 (2) ^ 3 + (2) ^ 2-4 #

#color (blanco) y = 32-3 (8) + 4-4 #

#color (blanco) y = 32-24 #

#color (blanco) y = 8 #

#color (blanco) y> 0 #

Hemos demostrado que # y # es negativo cuando # x = 1 #y # y # es positivo cuando # x = 2 #. Así que en algún punto entre 1 y 2, hay debe un valor para #X# que hace # y # igual a 0

Acabamos de utilizar el Teorema del valor intermedio o (IVT). Si no está seguro de qué es eso, una descripción rápida es que, si una función continua es menor que #do# cuando # x = a # y es mayor que #do# cuando # x = b #, luego en algún punto entre #una# y #segundo#, la función debe ser igual #do.#

Nota:

La IVT solo es aplicable en funciones continuas (o funciones que son continuas en el intervalo de interés). Por suerte, todos los polinomios en #X# Son continuos en todas partes, por eso podemos usar la IVT aquí.