Responder:
#color (azul) (- (2y ^ (5/2)) / (1 + 4xy ^ (3/2)) #
Explicación:
Necesitamos diferenciar esto implícitamente, porque no tenemos una función en términos de una variable.
Cuando nos diferenciamos # y # Usamos la regla de la cadena:
# d / dy * dy / dx = d / dx #
Como ejemplo si tuviéramos:
# y ^ 2 #
Esto sería:
# d / dy (y ^ 2) * dy / dx = 2ydy / dx #
En este ejemplo, también necesitamos usar la regla del producto en el término # xy ^ 2 #
Escritura #sqrt (y) # como # y ^ (1/2) #
# y ^ (1/2) + xy ^ 2 = 5 #
Diferenciación
# 1 / 2y ^ (- 1/2) * dy / dx + x * 2ydy / dx + y ^ 2 = 0 #
# 1 / 2y ^ (- 1/2) * dy / dx + x * 2ydy / dx = -y ^ 2 #
Factorizar # dy / dx #:
# dy / dx (1 / 2y ^ (- 1/2) + 2xy) = - y ^ 2 #
Dividido por # (1 / 2y ^ (- 1/2) + 2xy) #
# dy / dx = (- y ^ 2) / ((1 / 2y ^ (- 1/2) + 2xy)) = (- y ^ 2) / (1 / (2sqrt (y)) + 2xy #
Simplificar:
Multiplicar por: # 2sqrt (y) #
# (- y ^ 2 * 2sqrt (y)) / (2sqrt (y) 1 / (2sqrt (y)) + 2xy * 2sqrt (y) #
# (- y ^ 2 * 2sqrt (y)) / (cancel (2sqrt (y)) 1 / (cancel (2sqrt (y))) + 2xy * 2sqrt (y) #
# (- y ^ 2 * 2sqrt (y)) / (1 + 2xy * 2sqrt (y)) = - (2sqrt (y ^ 5)) / (1 + 4xsqrt (y ^ 3)) = color (azul) (- (2y ^ (5/2)) / (1 + 4xy ^ (3/2))) #
