Ok en primer lugar tienes # x-1 #, # x + 1 #y # x ^ 2-1 # como el denominador en tu pregunta. Por lo tanto, lo tomaré como la pregunta asume implícitamente que #x! = 1 o -1 #. Esto es realmente muy importante.
Combinemos la fracción de la derecha en una sola fracción, # x / (x-1) + 4 / (x + 1) = (x (x + 1)) / ((x-1) (x + 1)) + (4 (x-1)) / ((x-1) (x + 1)) = (x ^ 2 + x + 4x - 4) / (x ^ 2-1) = (x ^ 2 + 5x -4) / (x ^ 2 -1) #
Aquí, tenga en cuenta que # (x-1) (x + 1) = x ^ 2 - 1 # A partir de la diferencia de dos cuadrados.
Tenemos:
# (x ^ 2 + 5x -4) / (x ^ 2 -1) = (4x-2) / (x ^ 2-1) #
Cancele el denominador (multiplique ambos lados por # x ^ 2-1 #), # x ^ 2 + 5x -4 = 4x-2 #
Tenga en cuenta que este paso solo es posible debido a nuestra suposición al inicio. Cancelado # (x ^ 2-1) / (x ^ 2-1) = 1 # solo es valido para # x ^ 2-1! = 0 #.
# x ^ 2 + x -2 = 0 #
Podemos factorizar esta ecuación cuadrática:
# x ^ 2 + x - 2 = (x - 1) (x + 2) = 0 #
Y por lo tanto, #x = 1 #o #x = -2 #.
Pero aún no hemos terminado. Esta es la solución a la ecuación cuadrática, pero no la ecuación en la pregunta.
En este caso, #x = 1 # es un solución extraña, que es una solución adicional que se genera por la forma en que resolvemos nuestro problema, pero no es una solución real.
Entonces, rechazamos #x = 1 #, desde nuestro supuesto anterior.
Por lo tanto, #x = -2 #.
