El resto cuando x ^ (2011) se divide por x ^ 2 -3x + 2 es?

Responder:

# ((2 ^ 2011 - 1) x - (2 ^ 2011 - 2)) / (x ^ 2 - 3x + 2) #

Explicación:

Una forma casi fácil de ver esto es comenzar a dividir la expresión usando la División Larga. Escribe el dividendo (bajo el símbolo de división) con ceros como

# x ^ 2011 + 0x ^ 2010 + 0x ^ 2009 + 0x ^ 2008 + …. 0 #

No necesitaremos todos los términos para notar el patrón.

Cuando comience a dividir, observará que el primer término tiene un coeficiente de 1, el segundo tiene un coeficiente de 3, el tercero tiene un coeficiente de 7, luego 15, luego 31, etc.

Estos números tienen la forma # 2 ^ m - 1 #.

El resto aparecerá después de que haya dividido todo el asunto, que consiste en # 2011 ^ (th) # y # 2012 ^ (th) # condiciones.

El primer término en el cociente seguirá el mismo patrón, teniendo #2^2011-1# como su coeficiente. El último coeficiente es uno menos que #2^2011-1# -- es #2^2011 - 2#o #2(2^2010 - 1)#.

El mismo patrón es verdadero para cada división de la forma.

# x ^ m / (x ^ 2 - 3x + 2) #, dónde #m> = 3 #.

También puede notar que # x ^ 2011 - 1 # es un múltiplo de #x - 1 #, lo que cancelaría un factor en el denominador.

Responder:

Vea abajo.

Explicación:

# x ^ 2011 = Q (x) (x-1) (x-2) + a x + b #

dónde #Q (x) # es un #2009# grado polinomio y # (x-1) (x-2) = x ^ 2-3x + 2 #

Ahora sabemos

# 1 ^ 2011 = a + b #

# 2 ^ 2011 = 2a + b #

Resolviendo para # a, b # obtenemos

#a = 2 ^ 2011-1, b = 2-2 ^ 2011 # y entonces

#r (x) = (2 ^ 2011-1) x + 2-2 ^ 2011 # cual es el resto.