¿Qué es una función continua por partes? + Ejemplo

Responder:

Una función continua por partes es una función que es continua, excepto en un número finito de puntos en su dominio.

Explicación:

Tenga en cuenta que los puntos de discontinuidad de una función continua por partes no tienen que ser discontinuidades removibles. Es decir, no requerimos que la función se pueda hacer continua al redefinirla en esos puntos. Es suficiente que si excluimos esos puntos del dominio, entonces la función sea continua en el dominio restringido.

Por ejemplo, considere la función:

#s (x) = {(-1, "si x <0"), (0, "si x = 0"), (1, "si x> 0"):} #

gráfica {(y - x / abs (x)) (x ^ 2 + y ^ 2-0.001) = 0 -5, 5, -2.5, 2.5}

Esto es continuo para todos. #x en RR # excepto #x = 0 #

La discontinuidad en # x = 0 # No es removible. No podemos redefinir #s (x) # En ese punto y obtener una función continua.

A # x = 0 # La gráfica de la función 'salta'. Más formalmente, en el lenguaje de los límites encontramos:

#lim_ (x-> 0+) s (x) = 1 #

#lim_ (x-> 0-) s (x) = -1 #

Por lo tanto, el límite izquierdo y el límite derecho no están de acuerdo entre sí y con el valor de la función en # x = 0 #.

Si excluimos el conjunto finito de discontinuidades del dominio, entonces la función restringida a este nuevo dominio será continua.

En nuestro ejemplo, la definición de #s (x) # como una función de # (- oo, 0) uu (0, oo) -> RR # es continuo.

Si graficamos #s (x) # restringido a este dominio, todavía parece que es discontinuo en #0#, pero #0# No es parte del dominio, por lo que el 'salto' allí es irrelevante. En cualquier punto, arbitrariamente cerca de #0#, podemos elegir un pequeño intervalo abierto a su alrededor en el que la función sea (constante y por lo tanto) continua.

Ligeramente confuso, la función. #tan (x) # se considera continua, en lugar de continua por partes, porque las asíntotas en #x = pi / 2 + n pi # Están excluidos del dominio.

gráfico {tan (x) -10.06, 9.94, -4.46, 5.54}

Mientras tanto, la función de diente de sierra. #f (x) = x - piso (x) # No se considera por partes continua como una función de # RR # a # RR #, pero es continuo por partes en cualquier intervalo abierto finito.

gráfico {3/5 (abs (sin (x * pi / 2)) - abs (cos (x * pi / 2)) - abs (sin (x * pi / 2) ^ 3) / 6 + abs (cos (x * pi / 2) ^ 3) / 6) * tan (x * pi / 2) / abs (tan (x * pi / 2)) + 1/2 -2.56, 2.44, -0.71, 1.79}