Pregunta # 92256

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Explicación:

Divida esto en dos partes, en primer lugar la parte interior:

# e ^ x #

Esto es positivo y aumenta para todos los números reales y va de 0 a # oo # como #X# viene de # -oo # a # oo #

El tenemos:

#arctan (u) #

El tiene una asíntota horizontal derecha en # y = pi / 2 #. Ir desde # u = 0 rarr oo #, a # u = 0 # esta función es positiva y aumenta a lo largo de este dominio, toma un valor de 0 en # u = 0 #, un valor de # pi / 4 # a # u = 1 # y un valor de # pi / 2 # a # u = oo #.

Estos puntos, por tanto, se tiran a # x = -oo, 0, oo # respectivamente, y terminamos con una gráfica parecida a esto como resultado:

gráfico {arctan (e ^ x) -10, 10, -1.5, 3}

¿Cuál es la parte positiva de la # arctan # la función se extiende sobre toda la línea real con el valor de la izquierda extendiéndose en una asíntota horizontal en # y = 0 #.

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Explicación:

Dominio es # RR #

Simetría

Ni con respecto a la #X# Eje ni w.r.t el origen.

#arctan (e ^ (- x)) # no simplifica a #arctan (e ^ x) #

ni a # -arctan (e ^ x) #

Intercepciones

#X# intercepta: ninguno

No podemos conseguir #y = 0 # porque eso requeriría # e ^ x = 0 #

Pero # e ^ x # es nunca #0#, solo se acerca #0# como # xrarr-oo #.

Asi que, # yrarr0 # como # xrarr-oo # y el #X# eje os a horizontal

Asíntota a la izquierda.

# y # interceptar: # pi / 4 #

Cuando # x = 0 #, obtenemos #y = arctan (1) = pi / 4 #

Asymptotes:

Vertical: ninguno

# arctan # está entre # -pi / 2 # y # pi / 2 # por definición, por lo que nunca va a # oo #

Horizontal:

Izquierda: # y = 0 # como se discutió anteriormente

Derecha: # y = pi / 2 #

Sabemos que, como # thetararrpi / 2 # con # theta <pi / 2 #, obtenemos #tantheta rarr oo #

así como # xrarroo #, obtenemos # e ^ x rarroo #, asi que # y = arctan (e ^ x) rarr pi / 2 #

Primer derivado

#y '= e ^ x / (1 + e ^ (2x)) # es nunca #0# y nunca indefinido, por lo que no hay números críticos.

Para cada #X# tenemos #y '> 0 # por lo que la función está aumentando en # (- oo, oo) #

No hay extremos locales.

Segunda derivada

#y '' = (e ^ x (1 + e ^ (2x)) - e ^ x (2e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x + e ^ (3x) -2e ^ (3x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x (1-e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

#y '' # nunca está indefinido, y es #0# a # x = 0 #

Signo de #y '' #:

En # (- oo, 0) #, obtenemos # e ^ (2x) <1 # asi que #y ''> 0 # y la gráfica es cóncava hasta

En # (0, oo) #, obtenemos # e ^ (2x)> 1 # asi que #y '' <0 # y la gráfica es cóncava hacia abajo

La concavidad cambia en # x = 0 #, por lo que el punto de inflexión es:

# (0, pi / 4) #

Ahora dibuja la gráfica