Sea P (x_1, y_1) un punto y sea l la recta con la ecuación ax + by + c = 0.Mostrar la distancia d desde P-> l viene dada por: d = (ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)? Encuentra la distancia d del punto P (6,7) desde la línea l con la ecuación 3x + 4y = 11?

Responder:

#d = 7 #

Explicación:

Dejar # l-> a x + b y + c = 0 # y # p_1 = (x_1, y_1) # un punto que no está en # l #.

Suponiendo eso #b ne 0 # y llamando # d ^ 2 = (x-x_1) ^ 2 + (y-y_1) ^ 2 # después de sustituir #y = - (a x + c) / b # dentro # d ^ 2 # tenemos

# d ^ 2 = (x - x_1) ^ 2 + ((c + a x) / b + y_1) ^ 2 #. El siguiente paso es encontrar el # d ^ 2 # mínimo respecto #X# entonces encontraremos #X# tal que

# d / (dx) (d ^ 2) = 2 (x - x_1) - (2 a ((c + a x) / b + y_1)) / b = 0 #. Esto ocurre por

#x = (b ^ 2 x_1 - a b y_1-a c) / (a ^ 2 + b ^ 2) # Ahora, sustituyendo este valor en # d ^ 2 # obtenemos

# d ^ 2 = (c + a x_1 + b y_1) ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) # asi que

#d = (c + a x_1 + b y_1) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #

Ahora dado

# l-> 3x + 4y-11 = 0 # y # p_1 = (6,7) # entonces

#d = (-11 + 3xx6 + 4xx7) / sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = 7 #