Resuelve para x en RR la ecuación sqrt (x + 3-4sqrt (x-1)) + sqrt (x + 8-6sqrt (x-1)) = 1?

Responder:

#x en 5, 10 #

Explicación:

Dejar # u = x-1 #. Luego podemos reescribir el lado izquierdo de la ecuación como

#sqrt (u + 4-4sqrt (u)) + sqrt (u + 9-6sqrt (u)) #

# = sqrt ((sqrt (u) -2) ^ 2) + sqrt ((sqrt (u) -3) ^ 2) #

# = | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | #

Tenga en cuenta la presencia de #sqrt (u) # en la ecuación y que solo estamos buscando valores reales, por lo que tenemos la restricción #u> = 0 #. Con eso, ahora consideraremos todos los casos restantes:

Caso 1: # 0 <= u <= 4 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => 2-sqrt (u) + 3-sqrt (2) = 1 #

# => -2sqrt (u) = -4 #

# => sqrt (u) = 2 #

# => u = 4 #

Así # u = 4 # Es la única solución en el intervalo. #0, 4#

Caso 2: # 4 <= u <= 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) -2 + 3 - sqrt (u) = 1 #

#=> 1=1#

Como esto es una tautología, todo valor en #4, 9# es una solucion

Caso 3: #u> = 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) - 2 + sqrt (u) - 3 = 1 #

# => 2sqrt (u) = 6 #

# => sqrt (u) = 3 #

# => u = 9 #

Así #u = 9 # Es la única solución en el intervalo. # 9, oo) #

Tomados juntos, tenemos #4, 9# como la solución establecida para los valores reales de # u #. Sustituyendo en #x = u + 1 #, llegamos al conjunto final de soluciones. #x en 5, 10 #

Mirando la gráfica del lado izquierdo, esto coincide con lo que esperaríamos: