¿Probar que si n es impar, entonces n = 4k + 1 para algunos k en ZZ o n = 4k + 3 para algunos k en ZZ?

Aquí hay un esquema básico:

Proposición: Si #norte# es extraño, entonces # n = 4k + 1 # para algunos #k en ZZ # o # n = 4k + 3 # para algunos #k en ZZ #.

Prueba: Dejar #n en ZZ # dónde #norte# es impar. Dividir #norte# por 4.

Luego, por algoritmo de división, # R = 0,1,2, # o #3# (recordatorio).

Caso 1: R = 0. Si el resto es #0#, entonces # n = 4k = 2 (2k) #.

#:. norte# incluso

Caso 2: R = 1. Si el resto es #1#, entonces # n = 4k + 1 #.

#:. norte# es impar.

Caso 3: R = 2. Si el resto es #2#, entonces # n = 4k + 2 = 2 (2k + 1) #.

#:. norte# incluso.

Caso 4: R = 3. Si el resto es #3#, entonces # n = 4k + 3 #.

#:. norte# es impar.

#:. n = 4k + 1 o n = 4k + 3 # Si #norte# es extraño