¿Más sobre mecánica?

Responder:

Vea abajo.

Explicación:

Estaremos utilizando la llamada formulación de Euler Lagrange.

# d / dt ((parcial L) / (punto parcial q_i)) - (parcial L) / (parcial q_i) = Q_i #

dónde #L = T-V #. En este ejercicio tenemos # V = 0 # asi que #L = T #

Vocación # x_a # el centro de la coordenada del cilindro izquierdo y # x_b # el derecho, tenemos

# x_b = x_a + R costheta + Lcosalpha #

aquí # sinalpha = R / Lsintheta # por lo que sustituye #alfa#

# x_b = x_a-R costheta + sqrt L ^ 2 - R ^ 2 sin ^ 2theta #

ahora derivando

#dot x_b = dot x_a + Rsin (theta) dot theta - ((R ^ 2cos (theta) sin (theta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (theta))) dot theta #

pero

# T = 1/2 J (omega_a ^ 2 + omega_b ^ 2) + 1 / 2m (v_a ^ 2 + v_b ^ 2) #

aquí # J # Es el momento de inercia respecto al centro de masas. También,

# v_a = punto x_a = R punto theta #

#omega_a = punto theta #

así, después de sustituciones y llamadas #xi (theta) = 1- (Rcos (theta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (theta)) # tenemos

# T = 1/2 (J + mR ^ 2) (1+ (1 + sin (theta) xi (theta)) ^ 2) punto theta ^ 2 #

Nosotros elegimos # theta # como la coordenada generalizada. Así que vamos a reducir #F# actuando en la coordenada #X# a una fuerza equivalente en # theta #. Esta coordenada actúa de manera inteligente, por lo que necesitamos un impulso generalizado con respecto al punto de contacto en el piso, que es

#Q_ (theta) = FR (1+ sintheta) #

Las ecuaciones de movimiento se obtienen después de

# (J + mR ^ 2) ((1 + sin (theta) xi (theta)) (cos (theta) xi (theta) + sin (theta) xi '(theta)) dot theta ^ 2 + (1+ (1 + sin (theta) xi (theta)) ^ 2) ddot theta) = FR (1 + sin (theta)) # ahora resolviendo para #ddot theta #

# ddottheta = (FR (1 + sin (theta)) - (J + mR ^ 2) (1 + sin (theta) xi (theta)) (cos (theta) xi (theta) + sin (theta) xi '(theta)) dottheta ^ 2) / ((J + mR ^ 2) (1+ (1 + sin (theta) xi (theta)) ^ 2)) #

Se adjuntan dos parcelas. Los primeros shows # theta # la evolución y la segunda es para # dottheta #

Valor de los parámetros:

# R = 0.5, J = 1, m = 1, L = 2 # La fuerza aplicada se muestra en rojo.

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