¿Cómo se diferencian implícitamente y ^ 2 / x = x ^ 3 - 3yx ^ 2?

Responder:

Use las reglas de productos y cocientes y haga un montón de álgebra tediosa para obtener # dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #.

Explicación:

Comenzaremos por el lado izquierdo:

# y ^ 2 / x #

Para tomar la derivada de esto, necesitamos usar la regla del cociente:

# d / dx (u / v) = (u'v-uv ') / v ^ 2 #

Tenemos # u = y ^ 2-> u '= 2ydy / dx # y # v = x-> v '= 1 #, asi que:

# d / dx (y ^ 2 / x) = ((2ydy / dx) (x) - (y ^ 2) (1)) / (x) ^ 2 #

# -> d / dx (y ^ 2 / x) = (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 #

Ahora para el lado derecho:

# x ^ 3-3yx ^ 2 #

Podemos usar la regla de la suma y la multiplicación de una regla constante para dividir esto en:

# d / dx (x ^ 3) -3d / dx (yx ^ 2) #

El segundo de estos requerirá la regla del producto:

# d / dx (uv) = u'v + uv '#

Con # u = y-> u '= dy / dx # y # v = x ^ 2-> v '= 2x #. Asi que:

# d / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2 - ((dy / dx) (x ^ 2) + (y) (2x)) #

# -> d / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

Nuestro problema ahora lee:

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

Podemos añadir # x ^ 2dy / dx # a ambos lados y factorizar una # dy / dx # para aislarlo:

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

# -> (2xydy / dx) / x ^ 2 + x ^ 2dy / dx- (y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2 + 2xy #

# -> dy / dx ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) = 3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2 #

# -> dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

Espero que te guste el álgebra, porque esta es una ecuación desagradable que debe simplificarse:

# dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

# -> dy / dx = ((3x ^ 4) / x ^ 2 + (2x ^ 3y) / x ^ 2 + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 4 / x ^ 2) #

# -> dy / dx = ((3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy + x ^ 4) / x ^ 2) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2 * x ^ 2 / (2xy + x ^ 4) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #

¿Cómo se diferencian implícitamente 9 = e ^ (y ^ 2-y) / e ^ x + y-xy?

9 = e ^ (y ^ 2-y) / e ^ x + y - xy 9 = e ^ (y ^ 2-y) * e ^ (- x) + y - xy 9 = e ^ (y ^ 2- yx) + y - xy Diferencia con respecto a x. La derivada de la exponencial es en sí misma, multiplicada por la derivada del exponente. Recuerde que cada vez que diferencia algo que contiene y, la regla de la cadena le da un factor de y '. 0 = e ^ (y ^ 2-yx) (2yy '-y'-1) + y' - (xy '+ y) 0 = e ^ (y ^ 2-yx) (2yy' -y'-1) + y '- xy'-y Ahora resuelve para y'. Aquí está un comienzo: 0 = 2yy'e ^ (y ^ 2-yx) -y'e ^ (y ^ 2-yx) -e ^ (y ^ 2-yx) + y '- xy'-y Obtener todos los t

¿Cómo se diferencian implícitamente 2x / y = ysqrt (x ^ 2 + y ^ 2) -x?

Dy / dx = - (yx (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (- 1/2) -1-2y ^ -1) / (xy ^ -2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1 / 2) + y ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (- 1/2)) Muy bien, esta es una muy larga. Numeraré cada paso para que sea más fácil, y tampoco combiné los pasos para que supieras lo que estaba pasando. Comience con: 2xy ^ -1 = y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) -x Primero tomamos d / dx de cada término: 2. d / dx [2xy ^ -1] = d / dx [y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2)] - d / dx [x] 3. d / dx [2x] y ^ -1 + xd / dx [y ^ -1] = d / dx [y] (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) + yd / dx [(x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2)] - d / dx [x] 4. 2y ^ -1 + xd / dx [y ^ -1] = d / dx [y

¿Cómo se diferencian implícitamente 2 = xy-ysin ^ 2x-cos ^ 2xy ^ 2?

Usa la notación de Leibniz y estarás bien. Para los términos segundo y tercero, debe aplicar la regla de la cadena un par de veces.