Muestra que int_0 ^ 1sinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx

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Explicación:

Queremos mostrar

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Esta es una integral bastante "fea", por lo que nuestro enfoque no consistirá en resolver esta integral, sino en compararla con una integral "más agradable".

Ahora que para todos los números reales positivos #color (rojo) (sin (x) <= x) #

Por lo tanto, el valor del integrando también será mayor, para todos los números reales positivos, si sustituimos # x = pecado (x) #entonces si podemos mostrar

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Entonces nuestra primera afirmación también debe ser cierta.

La nueva integral es un simple problema de sustitución.

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) = sqrt (x ^ 2 + 1) _ 0 ^ 1 = sqrt (2) -1 #

El último paso es notar que #sin (x) = x => x = 0 #

Por lo tanto podemos concluir

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #