¿Demuestra que la función no tiene límite en x_0 = 0? + Ejemplo

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Explicación:

Según la definición de Heine de un límite de función tenemos:

#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #

#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #

Así que para demostrar que una función tiene NO límite en # x_0 # tenemos que encontrar dos secuencias # {x_n} # y # {barra (x) _n} # tal que

#lim_ {n -> + oo} x_n = lim_ {n -> + oo} barra (x) _n = x_0 #

#lim_ {n -> + oo} f (x_n)! = lim_ {n -> + oo} f (barra (x) _n) #

En el ejemplo dado, tales secuencias pueden ser:

# x_n = 1 / (2 ^ n) # y #bar (x) _n = 1 / (3 ^ n) #

Ambas secuencias convergen a # x_0 = 0 #, pero de acuerdo a la fórmula de la función tenemos:

#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

porque todos los elementos en # x_n # están en #1,1/2,1/4,…#

y para #bar (x) _n # tenemos:

#f (barra (x) _1) = f (1) = 2 #

pero para todos #n> = 2 # tenemos: #f (barra (x) _n) = 1 #

Entonces para #n -> + oo # tenemos:

#lim_ {n -> + oo} f (barra (x) _n) = 1 # (**)

Ambas secuencias cubren a # x_0 = 0 #, pero los límites (*) y (**) son NO igual, asi el limite #lim_ {x-> 0} f (x) # no existe.

QED

La definición de límite se puede encontrar en Wikipedia en:

Responder:

Aquí hay una prueba que utiliza la negación de la definición de la existencia de un límite.

Explicación:

Version corta

#f (x) # no puede acercarse a un solo número # L # porque en cualquier barrio de #0#, la función #F# adquiere valores que difieren entre sí por #1#.

Así que no importa lo que alguien proponga para # L #hay puntos #X# cerca #0#, dónde #f (x) # Por lo menos #1/2# unidad lejos de # L #

Versión larga

#lim_ (xrarr0) f (x) # existe si y solo si

hay un numero # L # como el para todos #epsilon> 0 #, hay un #delta> 0 # tal que para todos #X#, # 0 <abs (x) <delta # implica #abs (f (x) -L) <epsilon #

La negación de esto es:

#lim_ (xrarr0) f (x) # no existe si y solo si

para cada numero, # L # hay un #epsilon> 0 #, tal que para todos #delta> 0 # hay un #X#, tal que # 0 <abs (x) <delta # y #abs (f (x) -L)> = epsilon #

Dado un numero # L #, Voy a permitir #epsilon = 1/2 # (cualquier menor # épsilon # funcionará también)

Ahora dado un positivo #delta#, Debo demostrar que hay un #X# con # 0 <absx <delta # y #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (recordar que #epsilon = 1/2 #)

Dado un positivo #delta#, finalmente # 1/2 ^ n <delta # así que hay un # x_1 # con #f (x_1) = 2 #.

También hay un elemento. # x_2 en RR- {1, 1/2, 1/4,… } # con # 0 <x_2 <delta # y #f (x_2) = 1 #

Si #L <= (1/2) #, entonces #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #

Si #L> = (1/2) #, entonces #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #

La función f (x) = 1 / (1-x) en RR {0, 1} tiene la propiedad (bastante agradable) de que f (f (f (x))) = x. ¿Hay un ejemplo simple de una función g (x) tal que g (g (g (g (x))) = x pero g (g (x))! = X?

La función: g (x) = 1 / x cuando x en (0, 1) uu (-oo, -1) g (x) = -x cuando x en (-1, 0) uu (1, oo) funciona , pero no es tan simple como f (x) = 1 / (1-x) Podemos dividir RR {-1, 0, 1} en cuatro intervalos abiertos (-oo, -1), (-1, 0) , (0, 1) y (1, oo) y defina g (x) para mapear entre los intervalos cíclicamente. Esta es una solución, pero ¿hay alguna más simple?

¿Qué es un límite de colisión? + Ejemplo

Si un fondo oceánico empuja hacia una masa de tierra, entonces se deslizará debajo de la masa de tierra, porque esta última es más ligera y menos densa que el fondo oceánico. Pero si dos masas de tierra se encuentran, las dos se aplastarán juntas en lo que se llama un límite de colisión. Se arrugan y se pliegan. El resultado es una cordillera. Ejemplo impresionante: el Himalaya se formó cuando la India se aplastó en Asia.

¿Cuál es un ejemplo que demuestra la primera ley de Newton?

Cuando das un giro brusco en tu coche. cuando un automóvil gira bruscamente a alta velocidad, el conductor tiende a lanzarse al otro lado debido a la inercia direccional. Cuando el automóvil se mueve en línea recta, el conductor tiende a continuar en línea recta. Cuando se aplica una fuerza desequilibrada por parte del motor para cambiar la dirección de movimiento del automóvil, el conductor se desliza hacia un lado del asiento y sufre una inercia de su cuerpo.