Responder:
El resto de la división. #f (x) = 2x ^ 3 + 9x ^ 2 + 7x + 3 # por # (x-k) # es #f (k) #, entonces resuelve #f (k) = 9 # Usando el teorema de la raíz racional y factorizando para encontrar:
#k = 1/2, -2 # o #-3#
Explicación:
Si intentas dividir #f (x) = 2x ^ 3 + 9x ^ 2 + 7x + 3 # por # x-k # terminas con un resto de #f (k) #…
Así que si el resto es #9#, básicamente estamos tratando de resolver #f (k) = 9 #
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k + 3 = 9 #
Sustraer #9# de ambos lados para obtener:
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k-6 = 0 #
Por el teorema de la raíz racional, cualquier raíz racional de este cúbico será de la forma # p / q # en los términos más bajos, donde #p, q en ZZ #, #q! = 0 #, #pag# un divisor del termino constante #-6# y # q # un divisor del coeficiente #2# del término principal.
Eso significa que las posibles raíces racionales son:
#+-1/2#, #+-1#, #+-3/2#, #+-2#, #+-3#, #+-6#
Probemos el primero:
#f (1/2) = 1/4 + 9/4 + 7 / 2-6 = (1 + 9 + 14-24) / 4 = 0 #
asi que #k = 1/2 # es una raíz y # (2k-1) # es un factor
Dividido por # (2k-1) # encontrar:
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k-6 = (2k-1) (k ^ 2 + 5k + 6) = (2k-1) (k + 2) (k + 3) #
Así que las posibles soluciones son:
#k = 1/2 #, #k = -2 # y #k = -3 #
