Responder:
#(-9/14,3/28)#
Explicación:
Empezamos con # y = 3 (x + 1) ^ 2 + 4x ^ 2 + 3x #. Esto no es en forma estándar ni en forma de vértice, y siempre prefiero trabajar con una de esas dos formas. Entonces, mi primer paso es convertir ese lío de arriba en una forma estándar. Lo hacemos cambiando la ecuación hasta que parece # y = ax ^ 2 + bx + c #.
En primer lugar, nos ocupamos de # (x + 1) ^ 2 #. Lo reescribimos como # (x + 1) * (x + 1) #, y simplificar el uso de la distribución, todo lo cual nos da # x ^ 2 + x + x + 1 #o # x ^ 2 + 2x + 1 #.
Ahora tenemos # 3 (x ^ 2 + 2x + 1) + 4x ^ 2 + 3x #. Si simplificamos # 3 (x ^ 2 + 2x + 3) #, eso nos deja con # 3x ^ 2 + 6x + 3 + 4x ^ 2 + 3x #. Ahora podemos combinar términos semejantes. # 3x ^ 2 + 4x ^ 2 # Nos da # 7x ^ 2 #y # 6x + 3x # es igual a # 9x #. Ahora tenemos # 7x ^ 2 + 9x + 3 #, que se encuentra en forma estándar. No te pongas demasiado cómodo, porque estaremos convirtiendo ese en forma de vértice en sólo un minuto.
Para resolver la forma de vértice, vamos a completar el cuadrado. También podríamos usar la fórmula cuadrática o graficar la ecuación que tenemos ahora, pero ¿dónde está la diversión en eso? Completar la plaza es más difícil, pero es un método que vale la pena aprender porque es bastante rápido, una vez que lo aprendes. Empecemos.
En primer lugar, tenemos que conseguir # x ^ 2 # por sí mismo (sin coeficientes a excepción del número #1# permitido). En nuestro caso, tenemos que factorizar un #7# De todo. Eso nos da # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 3/7) #. A partir de aquí, tenemos que tomar el mediano plazo. # (9 / 7x) # y dividir el coeficiente por #2#, cual es #9/14#. Luego nos cuadramos ese y tenemos #81/196#. Agregamos eso a nuestra ecuación, así: # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 + 3/7) #.
¡¡¡ESPERE!!! Acabamos de pegar un número al azar en la ecuación! ¡No podemos hacer eso! como podemos arreglar esto? Bueno, ¿y si solo … restáramos el número que acabamos de agregar? Entonces el valor no ha cambiado #(81/196-81/196=0)#, así que no hemos roto ninguna regla, ¿verdad? Está bien, vamos a hacer eso.
Ahora tenemos # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) #. Está bien, estamos bien ahora. Aún así, deberíamos seguir simplificando, porque # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) # Es largo y engorroso. Asi que, #-81/196+3/7# es #3/196#, y podemos reescribir # x ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 # como # (x + 9/14) * (x + 9/14) #o # (x + 9/14) ^ 2 #. Quizás te preguntes por qué no combiné #3/196# con #81/196#. Bueno, quiero crear un cuadrado perfecto, como # (x + 9/14) ^ 2 #. Ese es en realidad todo el punto de completar el cuadrado. # x ^ 2 + 9/7 + 3/7 # no era factorable, por lo que encontré el número ((9/2) / 2 ^ 2) que lo hace factorizable. Ahora tenemos un cuadrado perfecto, con las cosas inconvenientes e imperfectas al final.
Así que ahora tenemos # 7 ((x + 9/14) ^ 2 + 3/196) #. Ya casi hemos terminado, pero todavía podemos hacer una cosa más: distribuir el #7# a #3/196#. Eso nos da # 7 (x + 9/14) ^ 2 + 3/28 #, y ahora tenemos nuestro vértice! Desde # 7 (x + color (verde) (9/14)) ^ 2color (rojo) (+ 3/28) #, tenemos tanto nuestro #color (verde) (x) #-valor y nuestro #color (rojo) (y) #-valor. Nuestro vértice es # (color (naranja) (-) color (verde) (9/14), color (rojo) (3/28)) #. Por favor, tenga en cuenta que el signo de la #color (verde) (x) # componente es opuesto del signo dentro de la ecuación.
Para verificar nuestro trabajo, solo podemos graficar la ecuación y encontrar el vértice de esa manera.
gráfica {y = 7x ^ 2 + 9x + 3}
El vértice es #(.643,.107)#, que es la forma decimal redondeada de #(-9/14, 3/28)#. ¡Estábamos en lo cierto! Gran trabajo.
