¿Cómo determinarías la ecuación del círculo que pasa por los puntos D (-5, -5), E (-5,15), F (15,15)?

Responder:

Sustituye cada punto por la ecuación del círculo, desarrolla 3 ecuaciones y resta las que tienen al menos 1 coordenada común (#X# o # y #).

La respuesta es:

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Explicación:

La ecuación del círculo:

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

Dónde #α# #β# Son las coordenadas del centro del círculo.

Sustituir por cada punto dado:

Punto D

#(-5-α)^2+(-5-β)^2=ρ^2#

#(-(5+α))^2+(-(5+β))^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(5+β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+5^2+2*5β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2# (Ecuación 1)

Punto E

#(-5-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2# (Ecuación 2)

Punto F

#(15-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#15^2-2*15α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2# (Ecuación 3)

Ecuaciones de resta #(1)-(2)#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#40β-200=0#

#β=200/40#

#β=5#

Ecuaciones de resta #(2)-(3)#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2#

#40α-200=0#

#α=200/40#

#α=5#

Ahora eso #α# y #β# son conocidos, sustitúyalos en cualquiera de los puntos (usaremos punto #D (-5, -5) #):

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

#(-5-5)^2+(-5-5)^2=ρ^2#

#(-10)^2+(-10)^2=ρ^2#

#2(-10)^2=ρ^2#

#ρ^2=200#

Entonces la ecuación del círculo se convierte en:

#α=5#

#β=5#

#ρ^2=200#

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Responder:

La ecuación del círculo es # (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Explicación:

Primero necesitamos encontrar la ecuación de dos líneas, cada una perpendicular a los segmentos formados por un par de los puntos dados y pasando por el punto medio de este par de puntos.

Desde los puntos D y E (# x_D = x_E = -5 #) están en una línea paralela al eje Y (# x = 0 #) y los puntos E y F (# y_E = y_F = 15 #) están en una línea paralela al eje-X (# y = 0 #) Es conveniente elegir estos pares de puntos.

Ecuación de la línea DE, donde # x_D = x_E = -5 #

# x = -5 #

Ecuación de la línea 1 perpendicular a DE y que pasa a través del punto medio #M_ (DE) #

#M_ (DE) ((x_D + x_E) / 2, (y_D + y_E) / 2) # => #M_DE (-5, 5) #

línea 1# -> y = 5 #

Ecuación de la línea EF, donde # y_E = y_F = 15 #

# y = 15 #

Ecuación de la línea 2 perpendicular a EF y pasando por el punto medio #M_ (EF) #

#M_ (EF) ((x_E + x_F) / 2, (y_E + y_F) / 2) # => #M_EF (5,15) #

línea 2# -> x = 5 #

Combinando ecuaciones de las líneas 1 y 2 (# y = 5 # y # x = 5 #) Encontramos el centro del círculo, punto C.

#C (5,5) #

La distancia entre el punto C y cualquiera de los puntos dados es igual al radio del círculo.

# R = d_ (CD) = sqrt ((- 5-5) ^ 2 + (- 5-5) ^ 2) = sqrt (100 + 100) = sqrt (200) #

En la fórmula de la ecuación del círculo:

# (x-x_C) ^ 2 + (y-y_C) ^ 2 = R ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #