Por favor, ¿alguien ayuda a resolver el problema?

Responder:

Prueba el cambio # x = tan u #

Vea abajo

Explicación:

Lo sabemos # 1 + tan ^ 2 u = sec ^ 2u #

Por el cambio propuesto tenemos

# dx = sec ^ 2u du #. Permite sustituir en la integral.

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = sinu + C #

Así, deshaciendo el cambio:

# u = arctanx # y finalmente tenemos

#sin u + C = sin (arctanx) + C #

Responder:

#color (azul) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

Explicación:

Intentemos utilizar la sustitución trigonométrica para resolver esta integral. Para ello, construiremos un triángulo rectángulo. #Delta ABC # y etiquete los lados de tal manera que utilizando la fórmula de Pitágoras podamos derivar las expresiones que vemos actualmente en el argumento de la integral de la siguiente manera:

Ángulo # / _ B = theta # tiene lado opuesto #X# y lado adyacente #1#. Usando la fórmula de Pitágoras:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # resultados en:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # como se muestra.

Ahora, vamos a escribir las tres funciones trigonométricas más básicas para # theta #:

# sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) #

# costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# tantheta = x / 1 = x #

Ahora necesitamos usar estas ecuaciones para resolver varias partes del argumento integral en términos trigonométricos. Vamos a usar # tantheta #:

# tantheta = x #

Tomemos derivados de ambos lados:

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

Desde el # costheta # ecuación, podemos resolver para #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

Si elevamos ambos lados de esta ecuación al poder de #3# obtenemos:

# sec ^ 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

Ahora, podemos sustituir lo que hemos calculado en la integral del problema para convertirlo en una integral trigonométrica:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (sec ^ 2thetad theta) / sec ^ 3theta = intsec ^ 2theta / (secthetasec ^ 2theta) d theta = intcancelcolor (red) (sec ^ 2theta) / (secthetacancelcolor (rojo) (segundo ^ 2 theta)) d theta = int1 / secthetad theta = int1 / (1 / costheta) d theta = intcosthetad theta = sintheta + C #

Ahora, podemos sustituir por # sintheta # y convertir nuestra respuesta de nuevo en una expresión algebraica en términos de #X#:

#color (azul) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #